Die Tn(x) gehorchen aber auch der Rekursionsformel T0(x

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Prof.Dr. W.Koepf

Dipl.-Math. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung

Ubungsblatt 03 COMPUTERALGEBRA I 02.11.2006

Aufgabe 1: (Tschebyschepolynome)

Die Tschebyschepolynome T_n(x) (n 2 N₀) haben eine Reihe wichtiger Eigenschaften. Sie werden in der Numerik zur Approximation eingesetzt. Die allgemeinen Formeln lauten

T_n(x) = cos(n arccos(x)) (1)

oder

Tn(x) = 1 2

x +p

x² 1_n

+ x p

x² 1_n

: (2)

Tatsachlich ist T_n(x) ein Polynom mit ganzzahligen Koezienten. Die T_n(x) gehorchen aber auch der Rekursionsformel

T₀(x) = 1; T₁(x) = x; T_n(x) = 2 x T_{n 1}(x) T_{n 2}(x); (3) aus der man leicht sieht, dass nur ganzzahlige Koezienten auftreten. Eine wichtige Identitat im Zusammenhang mit Tschebyschepolynomen ist die Gleichung

2T_n(x)T_m(x) = T_n+m(x) + T_{n m}(x) (4) fur n; m 2 N0 und n m.

1. Implementieren Sie die Funktion T1, die Tn wie in (1) berechnet (Tipp: Benutzen Sie TrigExpand).

2. Implementieren Sie die Funktion T2, die Tn wie in (2) berechnet. Welche Vereinfachungen sind notig, um eine Darstellung als Polynom mit ganzzahligen Koezienten zu erhalten?

3. Implementieren Sie die Funktion T3, die Tn wie in (3) naiv berechnet.

4. Implementieren Sie die Funktion T4, die Tn wie in (3) mit Remember-Eekt berechnet.

5. Implementieren Sie die Funktion T5, die T_n wie in (3) iterativ mit einer Schleife berechnet.

6. Implementieren Sie die Funktion T6, die T_nwie in (3) mit Hilfe der Funktion Nest berechnet.

7. Implementieren Sie die Funktion T7, die Tn mit Hilfe von (4) und der Divide-and-Conquer- Strategie berechnet.

8. Erstellen Sie mit jeder dieser Funktionen und der eingebauten Funktion ChebyshevT eine Liste fT₁(x); : : : ; T₃₀(x)g. Was fallt bei der Laufzeit auf? Warum ist das so?

9. Mit welcher der Prozeduren T1 bis T7 ist es moglich, das Polynom T_1000000 an der Stelle 1 auszuwerten und warum?

(16 Punkte)

Aufgabe 2: (Programmieren mit Mustererkennung)

Programmieren Sie eine Prozedur Int mit Hilfe der Mustererkennung von Mathematica, die Sum- men von Polynomen und trigonometrischen Funktionen integrieren kann. Wie sieht es bei der Integration von Produkten oder Verkettungen aus?

(8 Punkte)

Abgabetermin: Dienstag, 14.11.2006, 09.15 Uhr ansprenger@mathematik.uni-kassel.de