Prof.Dr. W.Koepf
Dipl.-Math. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung
Ubungsblatt 11 COMPUTERALGEBRA I 11.01.2007
Aufgabe 1: (Quadratfreies Faktorisieren)
1. Programmieren Sie eine Mathematica-Funktion QuadratfreierTeil[a; x], welche den qua- dratfreien Teil des Polynomes a(x) bestimmt.
Testen Sie Ihre Funktion QuadratfreierTeil an dem Polynom
a(x) = x8 17x7+ 103x6 241x5+ 41x4+ 533x3 395x2 275x + 250
und stellen Sie sowohl a(x) 2 Q[x] als auch den quadratfreien Teil graphisch dar. Was kennzeichnet graphisch den quadratfreien Teil?
2. Programmieren Sie eine Funktion QuadratfreieZerlegung[a; x], welche die quadratfreie Faktorisierung von a(x) 2 Q[x] berechnet. Testen Sie diese an
(a) a(x) = x8 2x6+ 2x2 1 (b) a(x) = Q20
k=1(x k)k
und vergleichen Sie mit der in Mathematica eingebauten Funktionalitat.
(8 Punkte)
Aufgabe 2: (Eisensteinsches Irreduzibilitatskriterium) Sei ein Polynom a(x) = anxn+ an 1xn 1+ : : : + a1x + a02 Z[x]
und eine Primzahl p gegeben. Gelte weiter p - an und pjak fur k = 0 : : : n 1, aber p2- a0. Zeigen Sie: Dann ist a(x) irreduzibel in Z[x].
Hinweis: Fuhren Sie die Annahme der Zerlegbarkeit zum Widerspruch.
(6 Punkte)
Aufgabe 3: (Kronecker-Algorithmus) Programmieren Sie den Kronecker-Algorithmus aus Sitzung 6.36 als Mathematica-Funktion Kronecker und faktorisieren Sie damit die folgenden Polynome
1. x5 6 x4+ 12 x3 12 x2+ 11 x 6
2. 10 x6 27 x5+ 45 x4 73 x3+ 18 x2+ 9 x 2
3. 145236 x6 1052961 x5+ 1851759 x4 1706523 x3+ 2941029 x2+ 798798 x 363090:
Bei dem dritten Polynom wird eine naive Anwendung des Kronecker-Algorithmus nicht zum Erfolg fuhren. Wie kann man trotzdem mit Kronecker eine Faktorisierung nden?
(10 Punkte)
Abgabetermin: Dienstag, 23.01.2007, 09.15 Uhr ansprenger@mathematik.uni-kassel.de
