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Fourier mit Mathematica, Grundversion

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Academic year: 2021

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(1)

Fourier mit Mathematica, Grundversion

A Einführung

? *Fourier*

System`

Fourier InverseFourier

FourierCosTransform InverseFourierCosTransform FourierParameters InverseFourierSinTransform FourierSinTransform InverseFourierTransform FourierTransform

Calculus`FourierTransform`

DTFourierTransform NFourierCosSeriesCoefficient FourierCoefficient NFourierCosTransform

FourierCosCoefficient NFourierExpSeries

FourierCosSeriesCoefficient NFourierExpSeriesCoefficient FourierExpSeries NFourierSeries

FourierExpSeriesCoefficient NFourierSinCoefficient

FourierFrequencyConstant NFourierSinSeriesCoefficient FourierOverallConstant NFourierSinTransform

FourierSample NFourierTransform FourierSeries NFourierTrigSeries

FourierSinCoefficient NInverseDTFourierTransform FourierSinSeriesCoefficient NInverseFourierCoefficient FourierTrigSeries NInverseFourierCosTransform InverseDTFourierTransform NInverseFourierSinTransform InverseFourierCoefficient NInverseFourierTransform NDTFourierTransform $FourierFrequencyConstant NFourierCoefficient $FourierOverallConstant NFourierCosCoefficient

Fourier @ list D finds the discrete Fourier transform of a list of complex numbers.

Mehr…

FourierCosTransform @ expr, t, w D gives the symbolic Fourier cosine transform of expr. FourierCosTransform @ expr, 8 t1, t2, ... < , 8 w1, w2, ... <D

gives the multidimensional Fourier cosine transform of expr. Mehr…

"FourierParameters is an option to Fourier transform functions that specifies the convention to follow for the overall constant and the frequency constant. For FourierParameters -> {a, b}, FourierTransform[expr, t, w] is equivalent to Sqrt[Abs[b]/((2 Pi)^(1-a))] Integrate[expr Exp[I b w t], {t,-Infinity,Infinity}]."

FourierSinTransform @ expr, t, w D gives the symbolic Fourier sine transform

of expr. FourierSinTransform @ expr, 8 t1, t2, ... < , 8 w1, w2, ... <D

gives the multidimensional Fourier sine transform of expr. Mehr…

(2)

FourierTransform @ expr, t, w D gives the symbolic Fourier transform of expr. FourierTransform @ expr, 8 t1, t2, ... < , 8 w1, w2, ... <D gives the multidimensional Fourier transform of expr. Mehr…

InverseFourier @ list D finds the discrete

inverse Fourier transform of a list of complex numbers. Mehr…

InverseFourierCosTransform @ expr, w, t D gives

the symbolic inverse Fourier cosine transform of expr.

InverseFourierCosTransform @ expr, 8 w1, w2, ... < , 8 t1, t2, ... <D gives the multidimensional inverse Fourier cosine transform of expr. Mehr…

InverseFourierSinTransform @ expr, w, t D

gives the symbolic inverse Fourier sine transform of expr.

InverseFourierSinTransform @ expr, 8 w1, w2, ... < , 8 t1, t2, ... <D gives the multidimensional inverse Fourier sine transform of expr. Mehr…

InverseFourierTransform @ expr, w, t D

gives the symbolic inverse Fourier transform of expr.

InverseFourierTransform @ expr, 8 w1, w2, ... < , 8 t1, t2, ... <D

gives the multidimensional inverse Fourier transform of expr. Mehr…

<< Calculus`FourierTransform`

? Calculus`FourierTransform`N*

Calculus`FourierTransform`

NDTFourierTransform NFourierSinSeriesCoefficient NFourierCoefficient NFourierSinTransform

NFourierCosCoefficient NFourierTransform NFourierCosSeriesCoefficient NFourierTrigSeries

NFourierCosTransform NInverseDTFourierTransform NFourierExpSeries NInverseFourierCoefficient NFourierExpSeriesCoefficient NInverseFourierCosTransform NFourierSeries NInverseFourierSinTransform NFourierSinCoefficient NInverseFourierTransform

Remove @ "Global`*" D

FourierTransform @ y @ x D , x, wD FourierTransform @ y @ x D , x, w D

FourierTransform @ y ' @ x D , x, wD -ä w FourierTransform @ y @ x D , x, w D

FourierTransform @ y '' @ x D , x, wD

-w

2

FourierTransform @ y @ x D , x, wD

FourierTransform @ y ''' @ x D , x, wD

ä w

3

FourierTransform @ y @ x D , x, wD

(3)

FourierTransform @ y '''' @ x D , x, wD w

4

FourierTransform @ y @ x D , x, wD

FourierTransform @ y @ x D + D @ y @ x D , x D , x, wD •• Simplify FourierTransform @ y @ x D + y

¢

@ x D , x, w D

fourierTransform @ y @ x D , x, wD := FourierTransform @ y @ x D , x, wD fourierTransform @ y1_ + y2__, x, wD :=

FourierTransform @ y1, x, w D + FourierTransform @ y2, x, w D fourierTransform @ y1_ + y2_ + y3_, x, w D :=

FourierTransform @ y1, x, w D + FourierTransform @ y2, x, w D fourierTransform @ y @ x D + D @ y @ x D , x D , x, w D •• Factor H 1 - ä w L FourierTransform @ y @ x D , x, w D

fourierTransform @ y @ x D + 2 D @ y @ x D , x D + D @ y @ x D , 8 x, 2 <D , x, wD •• Factor H 1 - 2 ä w L FourierTransform @ y @ x D , x, w D

? UnitStep

UnitStep @ x D represents the unit step function, equal to 0 for x <

0 and 1 for x ³ 0. UnitStep @ x1, x2, ... D represents the multidimensional unit step function which is 1 only if none of the xi are negative. Mehr…

f @ t_ D := UnitStep @ t + 1 D - UnitStep @ t - 1 D ; Plot @ f @ t D , 8 t, -2, 2 <D ;

-2 -1 1 2

0.2 0.4 0.6 0.8 1

FourierTransform @ f @ x D , x, w D •• Factor

"###### €€€€

2p

Sin @ w D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ w

(4)

B Lösungen

1

FourierTransform @ y ' @ x D , x, w D -ä w FourierTransform @ y @ x D , x, wD

FourierTransform @ y '' @ x D , x, w D -w

2

FourierTransform @ y @ x D , x, w D

FourierTransform @ y ''' @ x D , x, w D ä w

3

FourierTransform @ y @ x D , x, wD

FourierTransform @ y '''' @ x D , x, wD w

4

FourierTransform @ y @ x D , x, wD

2

Ÿ a

Sei c = 1

f1 @ t_ D := UnitStep @ t + 1 D - UnitStep @ t - 1 D ; Plot @ f1 @ t D , 8 t, -2, 2 <D ;

-2 -1 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(5)

Ÿ b

f2 @ t_ D := f1 @ 2 t • Pi D ; Plot @ f2 @ t D , 8 t, -3, 3 <D ;

-3 -2 -1 1 2 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ÿ c

f3 @ t_ D := f2 @ t D Cos @ t D ; Plot @ f3 @ t D , 8 t, -3, 3 <D ;

-3 -2 -1 1 2 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Plot @ f3 @ t D , 8 t, -6, 6 <D ;

-6 -4 -2 2 4 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(6)

3

Sei c = 1

f1 @ t_ D := UnitStep @ t + 1 D - UnitStep @ t - 1 D ; Plot @ f1 @ t D , 8 t, -2, 2 <D ;

-2 -1 1 2

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ÿ a

fourierTransform @ 1 * y ' @ x D + 2 * y @ x D , x, wD

-ä w FourierTransform @ y @ x D , x, wD + FourierTransform @ 2 y @ x D , x, wD

links = H -ä w FourierTransform @ y @ x D , x, w D + 2 FourierTransform @ y @ x D , x, w D •• Factor L • . FourierTransform @ y @ x D , x, w D ® Y @ w D

H 2 - ä wL Y @wD

rechts = FourierTransform @ f1 @ x D , x, w D

"###### €€€€

2p

Sin @wD

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ w

solve1 = Solve @ links Š rechts, 8 Y @ w D<D •• Flatten

9 Y @ w D ® ä "###### €€€€

2p

Sin @wD

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

w H 2 ä + wL =

Y1 @ w D := Y @ w D • . solve1

I1 @ x_ D := InverseFourierTransform @ Y1 @wD , w, x D •• Simplify;

I1 @ x D - 1

€€€€ 4 H Cosh @ 2 H 1 + x LD - Sinh @ 2 H 1 + x LDL H Sign @-1 + x D H Cosh @ 2 H 1 + x LD + Sinh @ 2 H 1 + x LDL -

Sign @ 1 + x D H Cosh @ 2 H 1 + x LD + Sinh @ 2 H 1 + x LDL - 2 ã

4

UnitStep @-1 + x D + 2 UnitStep @ 1 + x DL

(7)

Plot @ I1 @ x D , 8 x, -1, 5 <D ;

-1 1 2 3 4 5

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Ÿ b

fourierTransform @ 1 * y ' @ x D + 1 • 2 * y @ x D , x, wD FourierTransform A €€€€€€€€€€€€€ y @ x D

2 , x, w E - ä w FourierTransform @ y @ x D , x, w D links =

H-ä w FourierTransform @ y @ x D , x, wD + 1 • 2 FourierTransform @ y @ x D , x, wD •• Factor L • . FourierTransform @ y @ x D , x, wD ® Y @wD

€€€€ 1

2 H 1 - 2 ä wL Y @wD

rechts = FourierTransform @ f1 @ x D • 2, x, w D Sin @wD

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ •!!!!!!!! 2 p w

solve2 = Solve @ links Š rechts, 8 Y @wD<D •• Flatten

9 Y @ w D ® "###### €€€€

2p

w Sin @wD + 2 ä "###### €€€€

2p

w

2

Sin @wD

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

w

2

+ 4 w

4

=

Y2 @wD := Y @wD • . solve2

I2 @ x_ D := InverseFourierTransform @ Y2 @ w D , w, x D •• Simplify;

I2 @ x D

€€€€ 1

2 J Cosh A 1

€€€€ 2 Abs @-1 + x DE - Cosh A 1

€€€€ 2 Abs @ 1 + x DE + Sign @ 1 - x D + Sign @ 1 + x D - Sinh A 1

€€€€ 2 Abs @-1 + x DE + Sinh A 1

€€€€ 2 Abs @ 1 + x DE + Cosh A 1 + x

€€€€€€€€€€€€

2 E UnitStep @-1 - x D + Sinh A 1 + x

€€€€€€€€€€€€

2 E UnitStep @-1 - x D - Cosh A 1

€€€€ 2 H-1 + x LE UnitStep @ 1 - x D - Sinh A 1

€€€€ 2 H-1 + x LE UnitStep @ 1 - x D + Cosh A 1

€€€€ 2 - x

€€€€ 2 E UnitStep @ -1 + x D + Sinh A 1

€€€€ 2 - x

€€€€ 2 E UnitStep @ -1 + x D - Cosh A 1 + x

€€€€€€€€€€€€

2 E UnitStep @ 1 + x D + Sinh A 1 + x

€€€€€€€€€€€€

2 E UnitStep @ 1 + x DN

(8)

Plot @ I2 @ x D , 8 x, -1, 7 <D ;

2 4 6

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Ÿ c

fourierTransform @ 1 * y ' @ x D - 1 * y @ x D , x, wD

FourierTransform @-y @ x D , x, wD - ä w FourierTransform @ y @ x D , x, wD

links = H-ä w FourierTransform @ y @ x D , x, wD - FourierTransform @ y @ x D , x, wD •• Factor L • . FourierTransform @ y @ x D , x, wD ® Y @wD

-ä H-ä + wL Y @wD

rechts = FourierTransform @ f1 @ x D , x, w D

"###### €€€€

2p

Sin @wD

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

w

solve3 = Solve @ links Š rechts, 8 Y @wD<D •• Flatten

9 Y @ w D ® ä "###### €€€€

2p

Sin @wD

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

w H-ä + wL =

Y3 @ w D := Y @ w D • . solve3

I3 @ x_ D := InverseFourierTransform @ Y3 @wD , w, x D •• Simplify;

I3 @ x D

€€€€ 1

2 J-Sign @ 1 - x D -

€€€€ 1

ã H ã Sign @ 1 + x D + 2 H Cosh @ x D + Sinh @ x DL H ã

2

UnitStep @ -1 - x D - UnitStep @ 1 - x DLLN

(9)

Plot @ I3 @ x D , 8 x, -1, 7 <D ;

2 4 6

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2

Plot @ I3 @ x D , 8 x, 1, 7 <D ;

1 2 3 4 5 6 7

-1 -0.5 0.5 1

Ÿ d

FourierTransform @ y '' @ x D , x, wD +

2 FourierTransform @ y ' @ x D , x, wD + FourierTransform @ y @ x D , x, wD H FourierTransform @ y '' @ x D , x, wD +

2 FourierTransform @ y ' @ x D , x, wD + FourierTransform @ y @ x D , x, wDL •• Factor -Hä + wL

2

FourierTransform @ y @ x D , x, wD

links = H - H ä + w L

2

FourierTransform @ y @ x D , x, w DL • . FourierTransform @ y @ x D , x, w D ® Y @ w D -Hä + wL

2

Y @wD

rechts = FourierTransform @ f1 @ x D , x, wD

"###### €€€€

2p

Sin @wD

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ w

solve4 = Solve @ links Š rechts, 8 Y @wD<D •• Flatten 9 Y @wD ® - "###### €€€€

2p

Sin @ w D

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

w Hä + wL

2

=

Y4 @wD := Y @wD • . solve4

(10)

I4 @ x_ D := InverseFourierTransform @ Y4 @wD , w, x D •• Simplify;

I4 @ x D - 1

€€€€ 2 H Cosh @ 1 + x D - Sinh @ 1 + x DL

Hã Sign @-1 + x D H Cosh @ x D + Sinh @ x DL - ã Sign @ 1 + x D H Cosh @ x D + Sinh @ x DL - 2 ã

2

x UnitStep @-1 + x D + 4 UnitStep @ 1 + x D + 2 x UnitStep @ 1 + x DL Plot @ I4 @ x D , 8 x, -1, 7 <D ;

2 4 6

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Referenzen

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