Algorithmus und Programm: Vom Algorithmus zum Programm

(1)

Algorithmus und Programm:

Vom Algorithmus zum Programm

1.1 Vom Algorithmus zum Programm 1.2 Programmiersprachen

1.3 Korrektheit, Komplexität und Entscheidbarkeit 1.4 Software-Grundlagen

1.1 Vom Algorithmus zum Programm 1-1

(2)

Algorithmusbegriff

Ein Algorithmus ist eine „Berechnungsvorschrift“. Die Aufgabe, die der Algorithmus lösen soll, wird durch eine Spezifikation festgelegt.

• Die Berechnungsvorschrift wird durch einen endlichen Text kodiert.

• Sie beschreibt die auszuführenden Berechnungen „hinreichend präzise“.

• Die Berechnungen sind aus „elementaren“ Operationen aufgebaut und besitzen Aus- und evtl. Eingabewerte.

Hierbei handelt es ich um eine sog. intuitive Definition. In der Informatik wird auch eine formale Definition benötigt, zum Beispiel zum Nachweis, dass für ein bestimmtes Problem kein Algorithmus existiert.

»Intuitiv heißt nicht erlernt.«

(Bruce M. Hood)

(3)

Eigenschaften von Algorithmen

• Algorithmen sollen in der Regel terminieren, d. h. bei jeder Eingabe irgendwann zu einem Ende führen. Es gibt Ausnahmen: z. B. Betriebssysteme oder sogenannte

„reaktive Systeme“.

• Die Terminierung wird in der Definition des Algorithmusbegriffs nicht verwendet.

Ein Grund hierfür ist zum Beispiel das Halteproblem (s. unten): Definitionen müssen überprüfbar sein.

• Einen Algorithmus nennt man deterministisch, wenn er bei gleichen Eingabedaten stets die gleiche Berechnung ausführt.

• Ein Algorithmus heißt determiniert, wenn er bei gleichen Eingabedaten stets die gleichen Ausgabedaten liefert.

(4)

Programm und Programmiersprache

Ein Programm ist die Formulierung eines Algorithmus mit seiner Datenbereiche in einer Programmiersprache. Eine Programmiersprache erlaubt es, Algorithmen präzise zu beschreiben. Insbesondere legt eine Programmiersprache

• die elementaren Operationen,

• die Möglichkeiten zu ihrer Kombination und

• die zulässigen Datenbereiche

eindeutig fest. Unter „programmieren“ versteht man den Vorgang des Erstellens eines Programms.

(5)

Grundlegende Aspekte der Algorithmenentwicklung

• Wie wird ein Algorithmus formuliert? Paradigma.

Beispiele für Paradigmen: imperativ, objektorientiert, funktional, logisch.

Es gibt weitere Paradigmen, diese vier sind aber die am häufigsten erwähnten.

Weitere Bezeichnungen für Paradigmen: hybrid, prozedural, deklarativ.

• Mit welchem Aufwand löst der Algorithmus das Problem? Komplexität.

Beispiele zur Komplexität: benötigte Rechenzeit oder verwendeter Speicherplatz.

• Erfüllt mein Algorithmus seine Spezifikation? Korrektheit.

Der Nachweis der Korrektheit wird Verifikation genannt.

• Wie werden Datentypen definiert? Abstrakte Datentypen.

ADT/Abstrakte Datentypen werden durch algebraische Methoden definiert.

(6)

Grundlegende Aspekte der Algorithmenentwicklung

• Gibt es für das Problem einen Algorithmus? Berechenbarkeit/Entscheidbarkeit.

Zur Beantwortung dieser Frage wird eine formale Definition des Algorithmenbegriffs benötigt. Beispiel: Turing-Maschine.

Alonzo Church stellte 1936 die folgende These auf, die bisher nicht widerlegt wurde. Church’sche These:

Der intuitive Algorithmenbegriff wird durch das Modell der Turing-Maschine adäquat definiert.

Die Church’sche These kann natürlich nicht bewiesen werden, da sie den intuitiven Algorithmenbegriff verwendet. Über intuitive Dinge können keine formalen Beweise geführt werden. Es wurde gezeigt, dass viele formale Algorithmusdefinitionen

äquivalent sind. Daher könnte in der Church’schen These die Turing-Maschine durch etliche andere formale Definitionen des Algorithmus ersetzt werden.

(7)

Grundlegende Aspekte der Algorithmenentwicklung

• Gibt es Vorgehensweisen für die Erstellung von Algorithmen?

Entwurf von Algorithmen.

Beispiele: Rekursion, Backtracking, Divide-and-Conquer, Greedy-Algorithmus, . . .

• Gibt es Algorithmen, die man häufig verwenden kann?

Standardalgorithmen.

Beispiele: Algorithmen zum Suchen und Sortieren, Algorithmen für konkrete Datentypen (zum Beispiel: Graphen, Listen, Keller, Schlangen, . . . )

• Gibt es andere Definitionen des Algorithmenbegriffs?

Varianten des Algorithmenbegriffs.

Beispiele: nichtdeterministische, parallele, randomisierte Algorithmen.

(8)

Paradigmen zur Formulierung von Algorithmen

In einem imperativen Algorithmus gibt es Variable, die verschiedene Werte annehmen können. Die Menge aller Variablen und ihrer Werte sowie der Programmzähler

beschreiben den Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt. Ein Algorithmus bewirkt eine Zustandstransformation.

Ein funktionaler Algorithmus formuliert die Berechnung durch Funktionen. Die Funktionen können rekursiv sein; auch gibt es Funktionen höherer Ordnung.

In einem objektorientierten Algorithmus werden Datenstrukturen und

Methoden/Funktionen zu einer Klasse zusammengefasst. Von jeder Klasse können Objekte gemäß der Datenstruktur erstellt und über die Methoden manipuliert werden.

Ein logischer (deduktiver) Algorithmus führt Berechnungen durch, indem er aus Fakten und Regeln durch Ableitungen in einem logischem Kalkül Ziele beweist.

Unter einem hybriden Paradigma versteht man die Mischung von Paradigmen.

(9)

Paradigmen zur Formulierung von Algorithmen

Aus einer übergeordneten Sichtweise werden die folgenden Kategorien unterschieden:

• Prozedurale Programmiersprachen: Es wird exakt angegeben, wie die Lösung eines Problems ermittelt werden kann. Imperative Programmiersprachen fallen in diese Kategorie.

• Deklarative Programmiersprachen: Im Gegensatz zum prozeduralen Paradigma

fragt man in der deklarativen Programmierung danach, was berechnet werden soll.

Es wird also nicht der Lösungsweg programmiert, sondern angegeben, welches Ergebnis gewünscht ist. Deklarative Paradigmen beruhen auf mathematischen, rechnerunabhängigen Theorien. Beispiele hierfür sind prädikative und – bis zu einem gewissen Grade – auch funktionale Programmiersprachen.

(10)

Beispiel: Algorithmus von Euklid

Der folgende, in einer imperativen Programmiersprache formulierte, Algorithmus von Euklid (ca. 300 v. Chr.)

berechnet den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen x , y ∈ N mit x > 0 und y ≥ 0:

a := x;

b := y;

while b # 0

do r := a mod b;

a := b;

b := r od

Anschließend gilt a = ggT(x , y ).

(11)

Beispiel: Algorithmus von Euklid

Variable z

₀

z

₁

z

₂

z

₅

z

₈

z

₁₁

z

₁₄

r – – – 36 16 4 0

a – 36 36 52 36 16 4

b – – 52 36 16 4 0

ggT(36, 52) = 4

Durchlaufene Zustände: z

₀

, z

₁

, z

₂

, ... , z

₁₄

Zustandstransformation: z

₀

7−→ z

₁₄

(12)

Datenstrukturen und Typsysteme

Programmiersprachen bieten die Möglichkeit, aus elementaren Datenbereichen mithilfe von Konstruktoren komplexe Datenbereiche aufzubauen. Datenbereiche werden häufig Datenstrukturen genannt. Die Aspekte, die die Datenbereiche betreffen, werden als Typsystem bezeichnet. Nicht alle Programmiersprachen bieten alles hiervon an.

• Elementare Datenstrukturen:

◦ Wertebereiche, Operationen

◦ boolean, char, cardinal, integer, real, enumeration

• Konstruktoren:

◦ array (Feld), record (Satz), set (Menge), pointer (Zeiger)

◦ Zeiger ermöglichen rekursive Datenstrukturen wie Listen, Bäume und Graphen.

• Typäquivalenz, Typanpassung, Typkompabilität, . . .

(13)

Natürliche und künstliche Sprachen

• Sprache ist ein sich stets weiterentwickelndes, komplexes System von Lauten und Zeichen zum Zwecke der Kommunikation. Es werden natürliche und künstliche Sprachen unterschieden.

• Natürliche Sprachen sind historisch gewachsen. Hierzu zählen z. B. Deutsch,

Englisch und Französisch. Sie sind Ausdruck menschlichen Denkens, Fühlens und Wollens und weisen im Unterschied zu künstlichen Sprachen Mehrdeutigkeiten auf.

• Künstliche Sprachen sind Zeichensysteme, die der Verständigung in einem eng begrenzten Fachgebiets dienen, zum Beispiel Programmiersprachen. Sprachen wie Esperanto sind ebenfalls künstliche Sprachen, die sich durch leichtere Schreibung und Grammatik gegenüber natürlichen Sprachen auszeichnen.

aus Basiswissen Deutsch, Dudenverlag

(14)

Sprachklassen der Informatik

Die Sprachen der Informatik werden typischerweise in zwei Klassen aufgeteilt:

• General Purpose Language (GPL)

• Domain Specific Language (DSL)

Meistens zählt man die Programmiersprachen zu den GPLs und Sprachen für spezielle Anwendungen zu den DSLs.

Die Klasseneinteilung ist nicht in allen Quellen genau identisch. Eine mögliche Beispiel-Einteilung finden Sie in einem Material der Veranstaltung.

(15)

Sprachen der Informatik

Um Objekte mit Rechensystemen zu behandeln, müssen sie in eindeutigen – also

künstlichen – Sprachen beschrieben werden. Einige Beispiele sollen dies verdeutlichen:

• Algorithmen: Programmiersprachen (Java)

• Dokumente: Markup-Sprachen (Html, XML), Seitenbeschreibungssprachen (Postscript, PDF)

• Modelle, Systeme: Modellierungssprachen (UML)

• Spezifikationen: Spezifikationssprachen (Z, VDM-SL)

• Datenbanken: Anfragesprachen (SQL)

(16)

Folgerung

• In der Informatik hat man es mit einer Vielzahl von künstlichen Sprachen zu tun.

• Sie alle beschreiben Sachverhalte in einem relativ kleinen Kontext,

• dafür aber (hoffentlich) präzise, widerspruchsfrei und vollständig.

In dieser Vorlesung betrachten wir die Programmiersprache Java.

In anderen Veranstaltungen (z. B. „Programmieren für Fortgeschrittene“,

„Logik in der Informatik“) lernen Sie weitere Sprach(klass)en kennen.

Die theoretische Grundlagen der Programmiersprachen lernen Sie in der Veranstaltung „Semantik von Programmiersprachen“ kennen.

(17)

Algorithmus und Programm:

Programmiersprachen

1.2 Programmiersprachen 1-17

(18)

Entwicklung der Programmiersprachen

Edsger W. Dijkstra (niederländischer Informatiker, 1930–2002):

„Jeder Programmierer weiß, dass es nur eine einzig wahre Programmiersprache gibt. Jede Woche eine neue.“

A. Weinert: Java für Ingenieure, 2001, Seite 7:

„Die Zahl der Programmiersprachen, die die Informatik in den letzten fünfzig Jahren hervorgebracht hat, ist Legion. Ernst zu nehmende Schätzungen

sprechen von mehr als 20 000.“

Wenn Weinerts Schätzung zutrifft, sind es 7,7 Programmiersprachen pro Woche!

Zitat: Lisp ist nach Fortran die zweitälteste Sprache, die noch verbreitet ist.

(19)

Entwicklung der Programmiersprachen

.

1995

1985

1975

COBOL

ALGOL BASIC PL/I

ALGOL68 SIMULA PASCAL C

MODULA−2

ADA SMALLTALK80 C++

JAVA C#

SCHEME

.

1990

1980

1970

1965 2000

LOGO PROLOG CSP OCCAM

.

SCHEME (standard)

1955 1960

FORTRAN

LISP

Programmiersprachen in der Informatikausbildung

• Algol

• Algol68

• Modula-2

• Modula-2/Scheme

• Java/Scheme

• Java

(20)

Definition von Programmiersprachen

Die Lexik einer Programmiersprache bestimmt die textuellen Grundbausteine der Programme. Solche Bausteine sind z. B. Schlüsselwörter, Zeichen und Bezeichner.

Sie werden beispielsweise durch Aufzählung oder reguläre Ausdrücke angegeben.

Die Syntax einer Programmiersprache beschreibt, wie aus den Grundbausteinen vollständige Programme gebildet werden können. In den meisten Fällen wird die Syntax einer Programmiersprache durch eine kontextfreie Grammatik festgelegt.

Die Bedeutung der syntaktisch korrekten Programme ist durch die Semantik der Sprache gegeben. Sie kann beispielsweise mithilfe von Zustandsfolgen (operationelle Semantik) oder durch Funktionen, die den syntaktischen Einheiten zugeordnet sind (denotationale Semantik), definiert werden. Es gibt auch weitere Möglichkeiten.

Beispiele: axiomatische Semantik, algebraische Semantik.

Die Pragmatik einer Programmiersprache untersucht ihre Anwendbarkeit und Nützlichkeit. Sie gehört nicht zur Definition der Sprache.

(21)

Definition von Programmiersprachen: Kleines Beispiel

Lexik:

Schlüsselwörter: while, do, od, . . . Zeichen: +, ;, :=, (, ), {, }, . . . Bezeichner = Buchstabe · { Buchstabe, Ziffer }^∗

Syntax:

<Anweisung> ::= <Zuweisung> | <While-Anweisung> | . . .

<While-Anweisung> ::= while <logischer Ausdruck> do <Anweisungsfolge> od

(Operationelle) Semantik:

Eine (partielle) Funktion f, die Zustände auf Zustände abbildet.

Ein Beispiel: f(z₀) = z₁₄ (s. Abschnitt 1.1)

(22)

Klassifikation der Programmiersprachen

Die Programmiersprachen lassen sich grob in drei Klassen einteilen:

• Maschinensprachen

Bits und Bytes, für den menschlichen Leser kaum verständlich

• Maschinenorientierte Sprachen (Assembler) stellen die Befehle in einem Mnemo-Code dar

ADDIC 23, R0 STO R0, #12004

• Problemorientierte Sprachen

imperative, funktionale, objektorientierte, deduktive Sprachen, Spezialsprachen Ein Computer versteht nur Maschinensprachen!

(23)

Implementierung von Programmiersprachen

Compiler übersetzen Quellprogramme aus problemorientierten Sprachen in äquivalente Zielprogramme in Maschinensprachen:

cc -o prog prog.c prog input output

Interpreter lesen das Programm ein und führen es aus. Die Eingabe kann während der Ausführung oder durch eine Datei erfolgen.

scm prog.scm input output

Mischverfahren übersetzen das Programm zunächst mit einem Compiler in eine Zwischensprache. Das übersetzte Programm wird anschließend interpretiert:

javac prog.java java prog

Die Eingabe kann zum Beispiel über die Tastatur oder Dateien erfolgen.

Die Ausgabe kann zum Beispiel auf dem Bildschirm oder in Dateien geschehen.

(24)

Implementierung von Programmiersprachen

Interpreter müssen das Programm bei jedem Lauf erneut analysieren. Dies bedeutet einen gewissen Effizienzverlust.

Typisch, aber nicht zwingend:

• Compiler: C

• Interpreter: Scheme

• Mischverfahren: Java

• Compiler und Interpreter: Haskell

Compiler

₁

6= Compiler

₂

Interpreter

₁

6= Interpreter

₂

(25)

Verarbeitung von Java-Programmen

javac

java java

VM für Windows

Java−Quellprogramm

Java−Bytecode

VM für Linux

• Zuerst wird ein Quellprogramm vom Compiler in Bytecode übersetzt.

• Im zweiten Schritt wird der Bytecode vom Interpreter ausgeführt. Der

Bytecode kann als Maschinencode der sogenannten virtuellen Java-Maschine (JVM) angesehen werden. Bytecode ist portabel.

• Der Compiler ist maschinenunabhängig, der Interpreter muss für jede Plattform neu entwickelt werden.

(26)

Verarbeitung von Java-Programmen

• Interpretierter Code ist langsamer in der Ausführung als kompilierter Code, selbst wenn dieser als Bytecode vorliegt.

• Prinzipiell könnten Java-Programme auch in Maschinensprachen übersetzt werden.

Dann könnte die Portierbarkeit verloren gehen.

• Eine Alternativlösung bieten Just-in-Time-Compiler (JIT). Ein JIT ist ein

Programm, das den Bytecode einzelner Methoden während der Ausführung in Maschinencode der jeweiligen Plattform übersetzt. So kann die Methode beim nächsten Aufruf deutlich schneller ausgeführt werden. Vorteilhaft ist, dass der

Bytecode nicht verändert wird und damit das übersetzte Programm portabel bleibt.

(27)

Implementierung von Programmen

Warum muss man wissen, wie Programme umgesetzt werden?

Beispiel:

Java-Programm:

public static void main(String[] args) { int z = 256*256*256*128+2147483647;

System.out.println(z*z);

}

Ausgabe: 1

Der korrekte Wert ist 4294967295.

Warum ist die Ausgabe 1? Kann ein Computer nicht rechnen?

(28)

Paradigmen und Programmiersprachen

Einige Programmiersprachen:

imperativ: Algol, Algol68, Pascal, Ada, C, . . . funktional: Lisp, Scheme, ML, Haskell, . . . prädikativ: Prolog

objektorientiert: Smalltalk, Eiffel, . . .

hybrid: Java, C++, C# (imperativ, oo), Scala (imperativ, oo, funktional), . . .

In der Regel lassen sich die Sprachen nicht eindeutig einem bestimmten Paradigma zuordnen. Zum Beispiel gibt es in Scheme Variable und Zuweisungen, d. h. imperative Konzepte. Java ist als „imperativ-basierte objektorientierte Programmiersprache“

(hybrides Paradigma) zu bezeichnen. C++ hingegen besitzt einen vollständigen

imperativen Kern, während Smalltalk eine strikt objektorientierte Programmiersprache ist.

(29)

Skriptsprachen

• Bei Skriptsprachen handelt es sich um übergeordnete Sprachen, um vorhandene Programme oder Prozeduren kontrolliert ablaufen zu lassen.

• Skriptsprachen haben ihren Ursprung in den Kommandosprachen (Job Control Language, JCL) von Betriebssystemen.

• Einfache Skriptsprachen sind die Shell-Skripts von Unix. Mächtigere Skriptsprachen sind beispielsweise Perl, PHP, Python oder JavaScript.

• Skriptsprachen werden in der Regel interpretiert, nicht kompiliert.

(30)

Dieses sind Versionen von Java

1992–1995 Java-Vorläufer, zuerst unter dem Namen „Oak“.

Oak: Object Application Kernel, Eiche.

Neu: Applets (little applications) Januar 1996 JDK 1.0 (Java Development Kit) Anfang 1997 JDK 1.1

Dezember 1998 JDK 1.2, wurde

Januar 1999 umbenannt in „Java 2 Plattform“

Mai 2000 Java 2, JDK 1.3 Februar 2002 Java 2, JDK 1.4

Ende 2004 Java 2, JDK 5.0 (interne Versionsnummer: 1.5.0) „Tiger“

Dezember 2006 Java Standard Edition 6 „Mustang“

Juli 2011 Java Standard Edition 7 „Dolphin“

März 2014 Java Standard Edition 8 September 2017 Java Standard Edition 9

Sprachen haben Versionen.

(31)

Java-Versionen

Die installierte Version kann mit java -version ermittelt werden.

Bitte checken Sie Ihre Java-Version.

Achten Sie also darauf, dass Ihre Programme der Hausaufgaben auf Ihrem Computer und auf dem von Ihnen benutzten TU-Computer ausgeführt werden können.

(32)

Java-Beispiel

Dieses ist ein Beispiel für die Version Java 8.

Java 8 machte Schritte in die Richtung Funktionalität:

@FunctionalInterface interface Funktion {

int rechnen (int x, int y);

}

Diese Prinzipien werden wir uns natürlich genauer anschauen.

(33)

public class Test {

public static void main(String[] args) { Funktion f = (a,b) -> a+b;

Funktion g = (a,b) -> a-b;

Funktion h = (a,b) -> a*b;

Funktion l = (a,b) -> a/b;

int a = 100;

int b = 25;

int w = f.rechnen(a,b);

int x = g.rechnen(a,b);

int y = h.rechnen(a,b);

int z = l.rechnen(a,b);

System.out.printf("%d + %d = %4d%n",a,b,w);

System.out.printf("%d - %d = %4d%n",a,b,x);

System.out.printf("%d * %d = %4d%n",a,b,y);

System.out.printf("%d / %d = %4d%n",a,b,z);

} }

(34)

Übersetzung, Ausführung und Ausgabe:

javac Test.java java -ea Test

100 + 25 = 125 100 - 25 = 75 100 * 25 = 2500 100 / 25 = 4

Ganzzahlige Division, Beispiel: 100/3 = 33

(35)

Algorithmus und Programm:

Korrektheit, Komplexität und Entscheidbarkeit

1.3 Korrektheit, Komplexität und Entscheidbarkeit 1-35

(36)

Spezifikation, Korrektheit und Verifikation

Die Spezifikation beschreibt die Anforderungen an ein Softwaresystem in einer informellen, grafischen und/oder formalen Sprache. Eine Spezifikation sollte vollständig und widerspruchsfrei sein.

Ein Softwaresystem, das eine Spezifikation erfüllt, heißt korrekt bezüglich dieser

Spezifikation. Man unterscheidet dabei zwischen partieller und totaler Korrektheit. Ein Programm nennt man partiell korrekt, wenn die Spezifikation erfüllt, die Terminierung von Programmläufen aber nicht notwendigerweise gewährleistet ist. Es heißt total

korrekt, wenn zusätzlich die Terminierung sichergestellt ist. Ein partiell korrektes Programm liefert also keine falschen Ergebnisse.

Unter Verifikation versteht man den mathematischen Beweis der partiellen oder totalen Korrektheit eines Programms.

(37)

Korrektheit des Algorithmus von Euklid

Die Spezifikation besteht aus einer Vorbedingung und einer Nachbedingung:

Vorbedingung: x > 0 und y ≥ 0 Nachbedingung: a = ggT(x , y )

Der Algorithmus von Euklid ist für Eingaben x und y mit x > 0 und y ≥ 0 partiell und total korrekt. Die Variable a enthält nach Programmende den Wert des größten gemeinsamen Teilers von x und y .

Mit der Definition ggT(0, 0) = 0 ist der Algorithmus von Euklid für alle Werte x und y mit x ≥ 0 und y ≥ 0 partiell und total korrekt.

Beweis unter Verwendung einer Schleifeninvarianten: Sehen wir uns an.

(38)

Test und Validierung

Der Test eines Programms ist der probeweise Ablauf des Programms. Damit der Test aussagekräftig ist, müssen die Eingabedaten sorgfältig ausgewählt werden. Ein Test kann nur die Anwesenheit von Fehlern, niemals aber deren Abwesenheit zeigen.

Als Validierung bezeichnet man den Test eines Softwaresystems unter Bedingungen, wie sie im späteren Einsatz herrschen werden. Auch wenn das zu erstellende

Programm verifiziert wurde, kann auf eine Validierung nicht verzichtet werden, da ein mathematischer Nachweis der Korrektheit beispielsweise nichts über das

Laufzeitverhalten des Programms oder die Auslastung von Leitungen aussagt.

Verifikation: verus – wahr, facere – machen Validierung: validus – gesund, stark

(39)

Komplexität und O-Notation

• Unter Komplexität versteht man den Aufwand, den ein Algorithmus/Programm zur Lösung einer Aufgabe benötigt. Damit ist in den meisten Fällen der erforderliche Speicherplatz oder die Anzahl der durchgeführten Rechenschritte gemeint.

• Mathematisch wird die Komplexität eines Algorithmus/Programms in der Regel durch eine Funktion f : N −→ R beschrieben. Die Größenordnung einer solchen Funktion f wird häufig durch die sogenannte O-Notation nach oben abgeschätzt:

O (g ) = {f : N −→ R | ∃c > 0, n

₀

> 0 ∀n ≥ n

₀

. 0 ≤ f (n) ≤ cg (n)}

für eine Funktion g : N −→ R .

(40)

Komplexität des Algorithmus von Euklid

Theorem. [G. Lamé, 1845] Es seien x , y und n mit x ≥ 0, y ≥ 0 und

0 ≤ x , y < n gegeben. Dann gilt: Der Algorithmus von Euklid benötigt höchstens f (n) := l

log

_φ

√

5 n m

− 2 Divisionsschritte, wobei φ =

¹₂

1 + √

5 ist.

Beispiel: ggt(36,52), n=53, f (n) = d9, 92288...e − 2 = 10 − 2 = 8.

Unter Verwendung der O-Notation erhalten wir: f (n) ∈ O (log(n)).

Man schreibt es auch in der Form: f (n) = O (log(n)).

(41)

Symbole zur Größenordnung von Funktionen

Es sei eine Funktion g : N −→ R gegeben.

O (g ) = {f : N −→ R | ∃c > 0, n

₀

> 0 ∀n ≥ n

₀

. 0 ≤ f (n) ≤ cg (n)}

Ω (g ) = {f : N −→ R | ∃c > 0, n

₀

> 0 ∀n ≥ n

₀

. 0 ≤ cg (n) ≤ f (n)}

Θ (g ) = {f : N −→ R |

∃c

₁

> 0, c

₂

> 0, n

₀

> 0 ∀n ≥ n

₀

. 0 ≤ c

₁

g (n) ≤ f (n) ≤ c

₂

g (n)}

o(g ) = {f : N −→ R | ∀c > 0 ∃n

₀

> 0 ∀n ≥ n

₀

. 0 ≤ f (n) < cg (n)}

ω(g ) = {f : N −→ R | ∀c > 0 ∃n

₀

> 0 ∀n ≥ n

₀

. 0 ≤ cg (n) < f (n)}

Diese Zeichen werden Landau-Symbole genannt. Sie beschreiben das asymptotische Verhalten von Funktionen. Eine Übersicht finden Sie auf der Web-Seite dieser

Vorlesung. Dieses Thema wird in den Veranstaltungen Algorithmen und Datenstrukturen und Diskrete Mathematik behandelt.

(42)

Symbole zur Größenordnung von Funktionen

• 3000n

²

+ 7n + 23 ∈ Θ (n

²

) Man schreibt meistens: 3000n

²

+ 7n + 23 = Θ (n

²

)

• 3000n

²

+ 7n + 23 ∈ O (n

²

)

• 3000n

²

+ 7n + 23 ∈ Ω (n

²

)

• 23 ∈ Θ (1)

• a

_n

x

ⁿ

+ ... + a

₁

x + a

₀

∈ Θ (x

ⁿ

)

• Θ (log

_k

(n)) = Θ (log

_l

(n))

• 6n log

₂

(n) + 8n + 12 ∈ Θ (n log(n))

(43)

Entscheidbarkeit

• Entscheidbarkeit von Problemen: Gibt es zu jedem Problem einen Algorithmus, der es löst?

• Immer wieder kommt es vor, dass ein Computerprogramm plötzlich keine Reaktion mehr zeigt („abstürzt“ oder „sich aufhängt“). Dahinter verbirgt sich häufig ein Algorithmus, der für eine spezielle Eingabe nicht terminiert. Für kommerzielle Software kann das sehr teuer werden.

• Die Suche nach dem Grund der Nichtterminierung kann sich sehr schwierig gestalten. Daher liegt der Wunsch nahe, einen Algorithmus zu entwickeln, der beliebige Algorithmen auf Terminierung testet. Diese Aufgabenstellung heißt Halteproblem.

(44)

Halteproblem 1

Das Halteproblem ist unentscheidbar. Wir zeigen die Aussage indirekt:

• Annahme: Es gibt einen Algorithmus

HALT(algorithmus a, eingabe e),

der für einen Algorithmus a und eine Eingabe e genau dann das Ergebnis true liefert, wenn a bei Eingabe von e terminiert.

• Der Algorithmus TEST(algorithmus a) sei definiert durch

TEST(algorithmus a): while HALT(a,a) { ... }.

Das heißt, TEST(a) terminiert genau dann nicht, falls a bei Eingabe von a terminiert.

(45)

Halteproblem 2

Zwei Fälle können eintreten:

• 1. Fall: Der Aufruf HALT(TEST, TEST) liefert true.

In diesem Fall terminiert nach Definition von HALT der Aufruf TEST(TEST).

Hieraus folgt aus der Definition von TEST, dass der Aufruf TEST(TEST) nicht terminiert, ein Widerspruch.

• 2. Fall: Der Aufruf HALT(TEST, TEST) liefert false.

In diesem Fall terminiert nach Definition von HALT der Aufruf TEST(TEST) nicht.

Hieraus folgt aus der Definition von TEST, dass der Aufruf TEST(TEST) terminiert, ein Widerspruch.

Da in beiden Fällen ein Widerspruch auftritt, kann der Algorithmus HALT nicht existieren.

(46)

Halteproblem 3

Die beiden vorherigen Seiten

• Halteproblem 1 und

• Halteproblem 2

wurden dem Schulbuch

Peter Hubwieser, Patrick Löffler et al.: Informatik 5 – Lehrwerk für Gymnasien.

Ernst Klett Verlag, Stuttgart, Leipzig, 2010.

entnommen.

(47)

Berechenbarkeit 1

• Eine Funktion f : A → Y heißt berechenbar, wenn es einen Algorithmus A

_f

gibt, der diese Funktion „realisiert“.

• Die Quadratfunktion f : N → N ist berechenbar, denn es gibt einen Algorithmus, der für jede gegebene natürliche Zahl n das Quadrat n

²

berechnet.

Ist es wirklich möglich, ganz lange Zahlen mit dem Computer zu bearbeiten?

• Es gibt überabzählbar viele Funktionen f : N → N , aber nur abzählbar viele Algorithmen. Das heißt, fast keine Funktion ist berechenbar.

Wir werden den Satz von Rice kennenlernen.

(48)

Berechenbarkeit 2

• Mithilfe des Berechenbarkeitsbegriffs lässt sich die Entscheidbarkeit formal definieren: Eine Menge M ⊂ X heißt entscheidbar relativ zu X , wenn die charakteristische Funktion

χ

_M

(x ) =

( 1, x ∈ M ,

0, x ∈ X \ M , berechenbar ist.

• Formulieren Sie das Halteproblem als charakteristische Funktion einer geeigneten Menge.

Fazit: Es gibt unentscheidbare Probleme und nicht berechenbare Funktionen.

Mehr zu diesem Thema lernen Sie in den Modulen Theoretische Informatik.

(49)

Algorithmus und Programm:

Software-Grundlagen

1.4 Software-Grundlagen 1-49

(50)

Hardware

Für unsere Zwecke reicht das folgende einfache Modell vom Aufbau eines Rechners.

Details lernen Sie in den Modulen Technische Informatik, „Rechnernetze, ... kennen:

Ausgabewerk Hauptspeicher

Massenspeicher geräte

Eingabe-

Zentraleinheit

geräte Eingabewerk

Ausgabe- Prozessor

(51)

Software

• Zur Systemsoftware zählen alle Programme, die für den korrekten Ablauf von Rechnern oder Rechnernetzen erforderlich sind.

• Die Anwendungssoftware wird zur Lösung von Problemen, die nicht ursächlich mit Rechnern zu tun haben, eingesetzt.

• Softwarewerkzeuge unterstützen die Erstellung von System- und Anwendungsprogrammen.

(52)

Systemsoftware

Zur Systemsoftware zählen alle Programme, die für den korrekten Ablauf von Rechnern oder Rechnernetzen erforderlich sind:

• Betriebssysteme und ihre Komponenten

• Compiler, Interpreter

• Binder, Lader bzw. Bindelader

• Programme zur Verwaltung von Geräten

• Netzsoftware

• . . .

(53)

Anwendungssoftware

Die Anwendungssoftware wird zur Lösung von Problemen, die nicht ursächlich mit Rechnern zu tun haben, eingesetzt:

• Datenbankprogramme

• Conputeralgebrasysteme

• Office-Software: Textverarbeitung, Tabellenkalkulation, Präsentation, . . .

• E-Mail-Programme

• Internetsoftware: Browser, . . .

• Mediensoftware: Grafik-, Photo-, Audio-, Videoprogramme, . . .

• . . .

(54)

Softwarewerkzeuge

Softwarewerkzeuge unterstützen die Erstellung von System- und Anwendungsprogrammen:

• Modellbildung

• Programmierwerkzeuge

• Versionskontrolle

• Integrierte Entwicklungsumgebungen

• . . .

(55)

Betriebssysteme

• Der Begriff Betriebssystem ist eine zusammenfassende Bezeichnung für alle Programme, die die Ausführung der Benutzerprogramme, die Verteilung der

Betriebsmittel auf die einzelnen Benutzerprogramme und die Aufrechterhaltung der Betriebsart (z. B. Stapelbetrieb, Dialogbetrieb) steuern und überwachen.

• Das Betriebssystem bietet seine Dienste dem Benutzer in einer textuellen oder grafischen Oberfläche an.

(56)

Betriebssysteme

• Das Betriebssystem kann als eine Erweiterung der Maschine gesehen werden. Der durchschnittliche Programmierer möchte in der Regel beispielsweise nicht die

Verwaltung einer Floppy-Disk programmieren, sondern deren Funktionalität als

Abstraktion auf hohem Niveau nutzen. In diesem Zusammenhang spricht man auch von einer virtuellen Maschine.

• Das Betriebssystem arbeitet auch als Ressourcenmanager. Moderne Rechensysteme bestehen aus Prozessoren, Speichern, Uhren, Platten, Terminals, Druckern,

Netzwerkschnittstellen und vielen weiteren Komponenten. Das Betriebssystem teilt diese Ressourcen untern den verschiedenen Prozessen auf. Dieser Vorgang kann als

„Multiplexen in Zeit und Raum“ beschrieben werden.

(57)

Wichtige Betriebssysteme

• UNIX-Derivate

◦ BSD-Unix (Berkeley Software Distribution)

◦ AT&T, System V

◦ Linux (Linus Torvalds)

Distributionen für Linux: RedHat, Suse, Debian, Ubuntu, Knoppix, . . .

• Betriebssysteme der Fa. Microsoft

◦ MS-DOS

◦ Windows 3.x/95/98/Me

◦ Windows NT, Windows 2000, Windows XP

◦ Windows Vista, Windows 7, 8, 10

(58)

Oberflächen von Betriebssystemen

• Ein heutiges Betriebssystem stellt dem Benutzer die Fähigkeiten des Rechners über eine textuelle Oberfläche (Shell) und/oder über eine grafische Oberfläche (GUI, Graphical User Interface) zur Verfügung.

• Beispielsweise gibt es für Unix üblicherweise die Shells sh, bash, csh, tcsh, ksh und einige weitere. Für Linux wurden die grafischen Oberflächen KDE und Gnome

entwickelt. Die Wahl der jeweiligen Oberfläche bleibt dem Benutzer überlassen.

(59)

Dateiverwaltung

Dateiverwaltungssystem

Komponente eines Betriebssystems, die den gesamten Platz auf externen Speichern verwaltet. Zu den Aufgaben gehören die Lokalisierung von Dateien, die Zuweisung von Speicherplatz und die Buchführung über die Verwendung des Speichers.

Editor

Komponente eines Dateiverwaltungssystems zum Bearbeiten von Texten oder Daten.

Verbreitete Editoren unter Unix sind vi, emacs, nedit und gedit. Notepad und Wordpad sind solche für Windows.

(60)

Programmierwerkzeuge

• Änderungsverwaltung: diff, patch

• Versionsverwaltungsprogramme: rcs, cvs, svn

• Eingabeanalyse: lex, yacc

• Eingabeverarbeitung: awk

• Programmgenerierung: make

• . . .

(61)

Programmierumgebungen

Programmierumgebungen sind Software-Systeme zur Unterstützung der

Programmentwicklung. Typische Bestandteile einer Programmierumgebung sind

• ein sprachspezifischer Editor (Texteditor),

• Compiler und/oder Interpreter,

• Binder, Lader bzw. Bindelader,

• Test- und Debughilfen,

• Quelltextformatierungstools,

• Archivierungswerkzeuge sowie

• Dokumentationsgeneratoren.

(62)