Geben Sie die Konsistenzordnung der modifizierten Euler-Formel an: yn=yn−1+hf(tn−1+h 2, yn−1+h 2f(tn−1, yn−1

Numerik, Wintersemester 2011 Blatt 3

Dr. Olaf Ippisch Abgabe 11. 11. 2011 bis 9:00

Rebecca Neumann INF 288, links neben HS 2

IWR, Universit¨at Heidelberg

U¨BUNG1 KONSISTENZORDNUNG

1. Geben Sie die Konsistenzordnung der modifizierten Euler-Formel an:

y_n=yn−1+hf(tn−1+h

2, yn−1+h

2f(tn−1, yn−1)).

2. Zeigen Sie, dass das Einschrittverfahren mit

F(h;t, x) =

3

X

r=1

b_rk_r(h;t, x)

und

k1 :=f(t, x), k2:=f(t+^h₃, x+^h₃k1), k3:=f(t+⁵₆h, x−h(⁻⁵₁₂k1+⁵₄k2)) b₁= ₁₀¹, b₂ = ¹₂, b₃ = ₁₀⁴

die Konsistenzordnung drei besitzt.

3. Zeigen Sie, dass das allgemeine Einschrittverfahren mit

F(h;t, x) =

s

X

i=1

biki(h;t, x)

und

k_i =f(tn−1+c_ih_n, yn−1+h

s

X

j=1

a_ijk_j) genau dann konsistent ist, wennPs

i=1bi = 1.

7 Punkte

U¨BUNG2 RUNDUNGSFEHLER

Bei der Durchf ¨uhrung einer expliziten (L-stetigen) Einschrittmethode mit L ¨osungu(t)f ¨urt≥ t0

und numerischer Approximation durch eine Gitterfunktion(˜y_n)n≥0, wird wegen des unvermeidba- ren Rundungsfehlers eine gest ¨orte Rekursion

˜

y_n= ˜yn−1+h_nF(h_n;tn−1,y˜n−1) +_n, n≥1,

gel ¨ost. Die “lokalen” Fehler verhalten sich dabei wie k_nk ∝ epsky_nk, wobei eps den maxima- len relativen Rundungsfehler bezeichnet. O.B.d.A. sei y˜_o = u(t₀) angenommen. Beweisen Sie die Absch¨atzung

k˜yn−u(tn)k ≤K(tn)

1≤m≤nmax kτ_mk+eps max

1≤m≤nh⁻¹_m ky_mk

.

4 Punkte

U¨BUNG3 VERGLEICH VERSCHIEDENERZEITSCHRITTVERFAHREN(PROGRAMMIERAUFGABE) Betrachten Sie die AWA

u⁰(t) = −t

u(t), t0=−0.5≤t <1, u(t0) = 0.75

1. Implementieren Sie ein Runge-Kutta Verfahren 3. Ordnung analog zum Beispielexplixiteuler.hh in hdnum. Verifizieren Sie f ¨ur konstante Schrittweiten h = 2⁻ⁱ, i = 3, . . . ,8 die Konvergenz 3. Ordnung dieses Verfahrens zum Zeitpunktt = 0. (Exakte L ¨osungu(t) = √

1−t²) Betrach- ten sie ausserdem die Konvergenzordnung mit dem Expliziten Euler Verfahren zu denselben Schrittweiten zu diesem Zeitpunkt.

2. Untersuchen Sie f ¨ur beide Verfahren die Konvergenzordnung zum Zeitpunktt= 1. Was beob- achten sie, und wie l¨asst sich diese Verhalten erkl¨aren?

5 Punkte