Geben Sie die Konsistenzordnung des Heun-Verfahrens: yn=yn−1+h 2f(tn−1, yn−1) +h 2f(tn, yn−1+hf(tn−1, yn−1)) 2

Numerik, Wintersemester 2013 Aufgabenblatt 3

Prof. Dr. Peter Bastian Abgabe 13. November 2013 bis 11:15

IWR, Universit¨at Heidelberg

U¨BUNG1 NUMERISCHEINTEGRATION MITEULER- UNDHEUN-VERFAHREN

Betrachten Sie das Anfangswertproblem

u⁰(t) =f(t), t∈[a, b], a, b∈R, u(a) = 0,

mit einer gegebenen hinreichend glatten Funktionf : [a, b] → R. Wenden Sie das explizite Euler- Verfahren und das Verfahren von Heun mit konstanter Schrittweiteh= (b−a)/Nauf das AWA. Dann erhalten Sie eine N¨aherungsformel f ¨ur das IntegralRb

af(t)dt. Geben Sie beide N¨aherungsformeln f ¨ur das Integral sowie jeweils obere Schranken f ¨ur den von der Zahlhabh¨angenden Integrationsfehler

an. 4 Punkte

U¨BUNG2 KONSISTENZORDNUNG

1. Geben Sie die Konsistenzordnung des Heun-Verfahrens:

yn=yn−1+h

2f(tn−1, yn−1) +h

2f(tn, yn−1+hf(tn−1, yn−1)) 2. Zeigen Sie, dass das Nystr ¨om Einschrittverfahren mit

F(h;t, yn−1) =

3

X

r=1

b_rk_r(h;t, yn−1)

und

k₁ :=f(t, yn−1), k₂ :=f(t+²₃h, yn−1+²₃hk₁), k₃ :=f(t+ ²₃h, yn−1+²₃k₂))

b1= ¹₄, b2= ³₈, b3= ³₈

die Konsistenzordnung drei besitzt.

5 Punkte U¨BUNG3 RUNDUNGSFEHLER

Bei der Durchf ¨uhrung einer expliziten (L-stetigen) Einschrittmethode mit L ¨osungu(t)f ¨urt≥ t₀ und numerischer Approximation durch eine Gitterfunktion(˜yn)n≥0, wird wegen des unvermeidba- ren Rundungsfehlers eine gest ¨orte Rekursion

˜

yn= ˜yn−1+hnF(hn;tn−1,y˜n−1) +n, n≥1,

gel ¨ost. Die “lokalen” Fehler verhalten sich dabei wie k_nk ∝ epsky˜_nk, wobei eps den maxima- len relativen Rundungsfehler bezeichnet. O.B.d.A. sei y˜o = u(t0) angenommen. Beweisen Sie die Absch¨atzung

k˜yn−u(tn)k ≤K(tn)

1≤m≤nmax kτ_mk+eps max

1≤m≤nh⁻¹_m k˜ymk

.

4 Punkte U¨BUNG4 VERGLEICH VERSCHIEDENERZEITSCHRITTVERFAHREN(PROGRAMMIERAUFGABE)

Betrachten Sie die AWA

u⁰(t) = −200t u(t)², (−2≤t≤2)

u(−2) = 1

401

1. Implementieren Sie ein Runge-Kutta-Nystr ¨om Verfahren 3. Ordnung (siehe ¨Ubung 2) analog zum Beispielexplixiteuler.hhinhdnum. Verifizieren Sie f ¨ur konstante Schrittweitenh= 2⁻ⁱ, i= 3, . . . ,8die Konvergenz 3. Ordnung dieses Verfahrens (Exakte L ¨osungu(t) = _1+100t¹ 2).

2. Betrachten Sie ausserdem die Konvergenzordnung des Expliziten Euler Verfahrens zu densel- ben Schrittweiten.

3. Die Aussage des Satzes von Aufgabe 3 impliziert im Falle konstanter Schrittweiten eine untere Schranke f ¨ur die Schrittweite bei deren Unterschreiten der Approximationsfehler aufgrund des wachsenden Rundungsfehlers wieder zunimmt. Ersetzen Sie in ihren Programmen double durchfloatund bestimmen Sie diese Schranke n¨aherungsweise.

Konvergenzordnung: In vielen F¨allen kann die Konvergenzordnung eines Grenzprozesses a(h)→a(h→0), ka(h)−ak=O(h^α),

nur experimentell bestimmt werden. Dazu werden bei bekanntem Limesaf ¨ur zwei Wertehundh/2die Fehler ka(h)−akundka(h/2)−akberechnet und dann die Ordnungα ¨uber den formalen Ansatzka(h)−ak=ch^α aus der folgenden Formel ermittelt:

α= 1

log(2)log

ka(h)−ak ka(h/2)−ak

5 Punkte