(2) Tats¨achlich ist Tn(x) ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten

Dr. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung¨

Ubungsblatt 04¨ COMPUTERALGEBRA I 13.05.2010

Aufgabe 1: (Tschebyscheffpolynome)

Die TschebyscheffpolynomeT_n(x) (n∈N⁰) haben eine Reihe wichtiger Eigenschaften. Sie werden u.a. in der Numerik zur Approximation eingesetzt. Die allgemeinen Formeln lauten

T_n(x) = cos(n arccos(x)) (1)

oder

Tn(x) = 1 2

x +p

x²−1n

+ x−p

x²−1n

. (2)

Tats¨achlich ist T_n(x) ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Die Polynome T_n(x) erf¨ullen ferner die Rekursionsformel

T₀(x) = 1, T₁(x) =x , T_n(x) = 2x T_n−1(x)−T_n−2(x), (3) aus der man leicht sieht, dass nur ganzzahlige Koeffizienten auftreten. Eine wichtige Identit¨at im Zusammenhang mit Tschebyscheffpolynomen ist die Gleichung

2T_n(x)T_m(x) =T_n+m(x) +T_n−m(x) (4) f¨urn, m∈N⁰ und n≥m.

(a) Implementieren Sie die Funktion T1, die Tn wie in (1) berechnet (Tipp: Benutzen Sie TrigExpand).

(b) Implementieren Sie die Funktion T2, die Tn wie in (2) berechnet. Welche Vereinfachungen sind n¨otig, um eine Darstellung als Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten zu erhalten?

(c) Implementieren Sie die Funktion T3, dieTn wie in (3) naiv berechnet.

(d) Implementieren Sie die Funktion T4, dieTn wie in (3) mit Remember-Effekt berechnet.

(e) Implementieren Sie die Funktion T5, dieT_n wie in (3) iterativ mit einer Schleife berechnet.

(f) Implementieren Sie die FunktionT6, dieT_nwie in (3) mit Hilfe der FunktionNestberechnet.

(g) Implementieren Sie die Funktion T7, die Tn mit Hilfe von (4) und der Divide-and-Conquer- Strategie berechnet.

(h) Erstellen Sie mit jeder dieser Funktionen und der eingebauten Funktion ChebyshevT eine Liste {T₁(x), . . . , T₃₀(x)}. Was f¨allt bei der Laufzeit auf?

(i) Mit welcher der Prozeduren T1 bis T7 ist es m¨oglich, zun¨achst das Polynom T_1000000 zu bestimmen und danach an der Stelle 1 auszuwerten und warum?

(12 Punkte)

Aufgabe 2: (Gruppen)

Sei (G,·) eine Halbgruppe, also ·:G×G→G eine innere Verkn¨upfung auf G mit der Eigenschaft a·(b·c) = (a·b)·c f¨ur alle a, b, c ∈G. (Assoziativit¨at)

(a) Zeigen Sie, dassG genau dann eine Gruppe ist, wenn die Gleichungena·x =b undy·a=b f¨ur allea, b ∈G eindeutig l¨osbar sind.

(b) Bestimmen Sie die Gruppentafel einer Gruppe mit sieben Elementen^a. An welchen Merkmalen der Gruppentafel k¨onnen Sie erkennen, dass es sich um eine Gruppe handelt? Wie kann man anhand der Gruppentafel feststellen, ob die Gruppe abelsch ist?

(6 Punkte)

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