Dividiere jeweils das Polynom f durch das Polynom g mit Rest:

Prof. Dr. M. Rapoport WS 2003/04 Dr. U. G¨ ortz

Lineare Algebra I Pr¨ asenzaufgaben, Teil 13

Aufgabe 5

Dividiere jeweils das Polynom f durch das Polynom g mit Rest:

a) f =

X

− 7X

+ 2X

− X −

, g = 3X

+ 18X

− 4X ∈ Q [X].

b) f = P

i=0

X

, g = P

i=0

X

∈ K[X], K ein K¨ orper.

Aufgabe 6

Sei K ein K¨ orper mit mindestens n + 1 Elementen, und seien A, B ∈ M

(K). Dann gilt χ

= χ

Aufgabe 7

Sei D : Q [X] −→ Q [X] die durch P

i=0

a

X

7→ P

i=1

ia

X

definierte Abbildung.

a) Zeige, dass D linear ist und folgere, dass D(f g) = f D(g) + gD(f ) f¨ ur alle f, g ∈ Q [X] gilt.

b) Bestimme den Kern und das Bild von D.

Sei M

: Q [X] −→ Q [X] die durch f 7→ X · f gegebene Abbildung.

c) Bestimme s¨ amtliche Eigenwerte von M

◦ D und D ◦ M

.

d) Zeige, dass Q [X] eine Basis aus Eigenvektoren von M

◦ D bzw. D ◦ M

besitzt.

L¨ osung zu Aufgabe 1:

A

=





− 49385 − 24690 − 49376 246924 123451 246884

− 74076 − 37035 − 74065



 .

Hinweis zu Aufgabe 4:

Ist A keine Skalarmatrix, so ist rg L

= 2 (denn A und E

liegen offenbar im Kern von L

).

Ist A =

a b c d

, so ist das charakteristische Polynom von L

:

X

(X

− d),

wobei d = (a − d)

+4bc = (Spur A)

− 4 det A gerade die Diskriminante des charakteristischen

Polynoms von A ist. Es folgt dann: L

ist genau dann trigonalisierbar (bzw. diagonalisierbar),

wenn A trigonalisierbar (bzw. diagonalisierbar) ist.