Polynom p vom Grad n

(1)

3.1.2 Polynome

Polynom

Polynom p vom Grad n

p(x) = a

0

+ a

1

x + · · · + a

n

x

ⁿ

, a

n

6 = 0 reelle oder komplexe Koeffizienten a

_k

Lineare Funktion

f (x) = ax + b Graph: Gerade mit Steigung a und y-Achsenabschnitt b

y = ax + b

1 a b

0 x

y

• Punkt-Steigungs-Form: y − y

0

x − x

₀

= a

• Zwei-Punkte-Form: y − y

0

x − x

0

= y

1

− y

0

x

1

− x

0

Quadratische Funktion

f (x) = ax

²

+ bx + c ⇔ y = a(x − x

0

)

²

+ y

0

Graph: Parabel mit Scheitel (x

0

, y

0

) = ( − b/(2a), − b

²

/(4a) + c) Polynomdivision

Division mit Rest

p = f q + r, Grad f = Grad p − Grad q ≥ 0, Grad r < Grad q p(t) = 0, q(x) = (x − t) = ⇒ r = 0, d.h. p(x) = f (x)(x − t)

Faktorisierung von Polynomen

Linearfaktoren zu komplexen Nullstellen z

k

p(z) = c(z − z

1

) · · · (z − z

n

)

Paare komplex konjugierter Nullstellen x

k

± iy

k

reelle quadratische Faktoren (z − x

k

− iy

k

)(z − x

k

+ iy

k

) = (z − x

k

)

²

+ y

_k²

43

(2)

Interpolationspolynom in Lagrange-Form p(x

_k

) = f

_k

= ⇒

p(x) = X

n

k=0

f

k

q

k

(x), q

k

(x) = Y

j6=k

x − x

j

x

k

− x

j

linearer Interpolant (n = 1)

p(x) = f

0

x

1

− x x

1

− x

0

+ f

1

x − x

0

x

1

− x

0

44