Lemma 213 (Newton-Darstellung von Polynomen) Sei f (x) ein Polynom vom Grad n. Dann gilt:

(1)

Lemma 213 (Newton-Darstellung von Polynomen) Sei f (x) ein Polynom vom Grad n. Dann gilt:

f(x) =

n

X

k=0

∆ ^k f(0) k! · x ^k =

n

X

k=0

∆ ^k f(0) x

k

.

Bemerkung: Die Newton-Darstellung entspricht offensichtlich der Taylorreihenentwicklung im differenzierbaren Fall.

Diskrete Strukturen 4.8 Summation und Differenzenoperator 352/566

c

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(2)

Beweis:

f(x) kann als Polynom vom Grad n eindeutig in der Form

f (x) =

n

X

k=0

b k · x ^k

geschrieben werden (x ^k ist Basis!). Damit ist nach Lemma 203 (1)

∆ ⁱ f (x) =

n

X

k=0

b _k · k ⁱ · x ^k−i .

Also gilt, dass

∆ ⁱ f(0) = b i · i! bzw. b k = ∆ ^k f (0)

k! .

(3)

Beispiel 214

Wir haben in Beispiel 210 gesehen, dass x ⁿ =

n

X

i=0

S n,i · x ⁱ .

Also gilt auch

k! · S n,k = ∆ ^k x ⁿ

x=0 = (E − I ) ^k x ⁿ x=0

=

k

X

i=0

(−1) ^k−i k

i

E ⁱ x ⁿ

x=0 =

k

X

i=0

(−1) ^k−i · k

i

· i ⁿ ,

und damit auch

S _n,k = 1 k! ·

k

X

i=0

(−1) ^k−i · k

i

· i ⁿ .

Diskrete Strukturen 4.8 Summation und Differenzenoperator 354/566

c

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(4)

4.9 Inversion 4.9.1 Basisfolgen Definition 215

Eine Folge (p 0 (x), p 1 (x), . . .) von Polynomen p i (x) heißt Basisfolge, falls deg(p i ) = i f¨ ur alle i.

Bemerkung: p ₀ 6= 0, da wir f¨ ur p(x) ≡ 0 festlegen: deg(p) = −1.

(5)

Beobachtung: p _i (x)

i≥0 sei eine Basisfolge. Dann kann jedes Polynom f (x) ∈ R [x]

vom Grad n eindeutig dargestellt werden als

f (x) =

n

X

i=0

f _i · p _i (x)

mit f i ∈ R.

Beweis:

Mit Koeffizientenvergleich und vollst¨ andiger Induktion.

Diskrete Strukturen 4.9 Inversion 356/566

c

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(6)

4.9.2 Zusammenhangskoeffizienten Seien p i (x)

i≥0 und q i (x)

i≥0 Basisfolgen. Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen a _n,k und b _n,k ∈ R (die sogenannten Zusammenhangskoeffizienten), so dass f¨ ur alle n, k ∈ N 0 gilt:

1

q n (x) =

n

X

k=0

a n,k · p k (x)

2

p _n (x) =

n

X

k=0

b _n,k · q _k (x)

(7)

Lemma 216

Seien die a n,k , b n,k wie oben, A = (a ij ) 0≤i,j≤n und B = (b ij ) 0≤i,j≤n , dann ist

AB = I

(I ist die n + 1-dimensionale Einheitsmatrix.)

Beweis:

Klar.

c

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(8)

Satz 217

Seien a n,k und b n,k , n, k ∈ N 0 , die zu zwei Basisfolgen geh¨ orenden Zusammenhangskoeffizienten. Dann gilt:

(∀n ∈ N

0

)

"

v

n

=

n

X

k=0

a

n,k

· u

k

#

gdw (∀n ∈ N

0

)

"

u

n

=

n

X

k=0

b

n,k

· v

k

#

Beweis:

In Matrixschreibweise gilt:

v = v 0 , . . . , v n

T

= A · u und u = B · v

Klar, da A = B ⁻¹ .

(9)

4.9.3 Die Binomialinversion Der Binomialsatz ergibt:

x ⁿ = (x − 1) + 1 n

=

n

X

k=0

n k

· (x − 1) ^k

(x − 1) ⁿ =

n

X

k=0

(−1) ^n−k n

k

· x ^k

c

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(10)

Betrachte die beiden Basisfolgen v _k

k≥0 := x ^k

k≥0 und u _k

k≥0 := (x − 1) ^k

k≥0 . Satz 217 liefert:

(∀n ∈ N 0 )

"

v _n =

n

X

k=0

n k

· u _k

#

und (∀n ∈ N 0 )

"

u _n =

n

X

k=0

(−1) ^n−k n

k

· v _k

#

F¨ ur

” Puristen“: Ersetze u _n durch (−1) ⁿ · u _n . Dann gilt:

(∀n ∈ N 0 )

"

v n =

n

X

k=0

(−1) ^k n

k

· u _k

# und (∀n ∈ N 0 )

u n = P n

k=0 (−1) ^{k n} _k

· v _k

(11)

Beispiel 218

Sei d(n, k) die Anzahl der Permutationen ∈ S _n mit genau k Fixpunkten.

D _n := d(n, 0) .

(Die Anzahl der sog. derangements).

n! =

n

X

k=0

d(n, k) =

n

X

k=0

n k

D n−k k7→n−k

=

n

X

k=0

n k

D _k

c

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(12)

Beispiel (Forts.)

Mit der Binomialinversion gilt:

D n =

n

X

k=0

(−1) ^n−k · n

k

· k!

= n! ·

n

X

k=0

(−1) ^n−k n ^k n!

= n! ·

n

X

k=0

(−1) ^n−k · 1 (n − k)!

= n! ·

n

X

k=0

(−1) ^k k! . Daraus ergibt sich, dass

n→∞ lim D n

S _n

= 1

e .

(13)

4.9.4 Stirling-Inversion

Betrachte die Basisfolgen (x ⁿ ) n≥0 und (x ⁿ ) n≥0 . Wie wir bereits gesehen haben, gilt:

x ⁿ =

n

X

k=0

S _n,k · x ^k

x ⁿ =

n

X

k=0

(−1) ^n−k · s _n,k · x ^k

Daraus l¨ asst sich die Stirling-Inversion ableiten:

(∀n ∈ N 0 )

"

v n =

n

X

k=0

S _n,k · u _k

#

gdw (∀n ∈ N 0 )

"

u n =

n

X

k=0

(−1) ^n−k s _n,k · v _k

#

c

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(14)

4.10 Erzeugende Funktionen Definition 219

Zu einer Folge (a i ) i≥0 mit a i ∈ R ist die zugeh¨ orige (gew¨ ohnliche) erzeugende Funktion die formale Potenzreihe

A(z) =

∞

X

i=0

a _i · z ⁱ .

(15)

Beobachtungen: Die formalen Potenzreihen bilden einen Ring:

A(z) ± B(z) = X

i≥0

a i ± b i

z ⁱ

c · A(z) = X

i≥0

c · a _i z ⁱ

Hier gilt folgende Produktformel:

A(z) · B(z) = X

n≥0 n

X

k=0

a k · b n−k

!

· z ⁿ

Konvolution von A(z) und B(z)

Diskrete Strukturen 4.10 Erzeugende Funktionen 366/566

c

Ernst W. Mayr

(16)

Satz 220

Eine formale Potenzreihe

A(z) = X

n≥0

a n · z ⁿ

besitzt ein multiplikatives Inverses genau dann, wenn a 0 6= 0.

Beweis:

Annahme: Sei

B(z) = X

n≥0

b n · z ⁿ

ein solches Inverses. Dann muss A(z) · B(z) = 1 sein, also auch a 0 · b 0 = 1, damit

a 0 6= 0. Daher muss b 0 = a 0 −1 sein.

(17)

Beweis (Forts.):

Seien induktiv b 0 , b 1 , . . . , b n−1 bereits bestimmt. Dann folgt aus

[z ⁿ ]

A(z) · B(z)

=

n

X

k=0

a k · b n−k = 0, n ≥ 1

dabei bezeichnet [z ⁿ ](. . .) den Koeffizienten von z ⁿ in (. . .)

folgende Formel:

b n = −1 a ₀

n

X

k=1

a _k · b n−k

Also ist b n und damit per Induktion B(z) eindeutig bestimmt.

c

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(18)

Beispiel 221

Geometrische Reihe:

A(z) = X

n≥0

z ⁿ

Es gilt A(z) · (1 − z) = 1, da

A(z) · (1 − z) = A(z) − z · A(z)

= (1 + z + z ² . . . .) − (z + z ² + z ³ + . . .) = 1

Also:

A(z) = 1

1 − z

(19)

Satz 222

Einige wichtige Erzeugendenfunktionen:

1

X

n≥0

z ⁿ = 1 1 − z

2

X

n≥0

(−1) ⁿ · z ⁿ = 1 1 + z

3

X

n≥0

z ²ⁿ = 1 1 − z ²

c

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(20)

4

X

n≥0

a n

z ⁿ = (1 + z) ^a , a ∈ C

5

X

n≥0

c + n − 1 n

z ⁿ = 1

(1 − z) ^c = (1 − z) ^−c

6

X

n≥0

m + n n

z ⁿ = 1

(1 − z) ^m+1

(21)

7

X

n≥0

z ⁿ n! = e ^z

8

X

n≥1

(−1) ⁿ⁺¹ z ⁿ

n = ln (1 + z)

c

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(22)

Beweis:

1

s. o.

2

Setze in (1) z 7→ −z.

3

Setze in (1): z 7→ z ² .

4

Der Fall a ∈ N 0 wird durch den Binomialsatz gezeigt, f¨ ur allgemeine a verweisen wir auf die Analysis.

5

X

n≥0

c + n − 1 n

z ⁿ = X

n≥0

−c n

(−1) ⁿ z ⁿ

= X

n≥0

−c n

(−z) ⁿ

(4) = (1 − z) ^−c

6

Setze in (5) c := m + 1.

(23)

Beispiel 223 Sei

A(z) = X

n≥0

a _n · z ⁿ , m ∈ N 0 . Dann ist

z ^m · A(z) = X

n≥0

a _n · z ^n+m = X

n≥m

a n−m · z ⁿ .

c

Ernst W. Mayr

(24)

Beispiel (Forts.) Damit gilt

z ^m (1 − z) ^m+1

Folie 371(6)

= z ^m · X

n≥0

m + n n

· z ⁿ

= X

n≥0

m + n n

z ^m+n = X

n≥m

n n − m

z ⁿ

(∗) = X

n≥0

n n − m

· z ⁿ .

(∗) Das Gleichheitszeichen gilt, da f¨ ur n < m

n n − m

= 0

ist.

(25)

4.11 Aufl¨ osung von Rekursionsgleichungen Beispiel 224

a 0 = 2

a n = 2 · a n−1 + 2 ⁿ f¨ ur alle n ≥ 1 lineare inhomogene Rekursionsgleichung 1. Ordnung

a _n = 2 · a n−1 + 2 ⁿ

a n−1 = 2 · a n−2 + 2 ⁿ⁻¹ | · (−2)

a _n − 2 · a n−1 = 2 · a n−1 − 4 · a n−2 + 2 ⁿ − 2 · 2 ⁿ⁻¹

⇒ 0 = a n − 4 · a n−1 + 4 · a n−2

lineare homogene Rekursionsgleichung 2. Ordnung

Diskrete Strukturen 4.11 Aufl¨osung von Rekursionsgleichungen 376/566

c

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Lemma 213 (Newton-Darstellung von Polynomen) Sei f (x) ein Polynom vom Grad n. Dann gilt: