Technische Universit¨at Ilmenau WS 2014/15 Institut f¨ur Mathematik
Prof. J. M. Schmidt, Dr. J.Schreyer
Grundlagen und Diskrete Strukturen f¨ ur Informatiker Hausaufgabenserie 4
Aufgabe 1
Es seiR={(a, b),(c, b),(b, d),(e, f),(f, e),(f, d)}eine Relation aufA={a, b, c, d, e, f}.
Bestimmen Sie Relationen R1, R2 undR3 aufA mit minimaler Kardinalit¨at derart, dass gilt:
• R ⊆R1 und R1 ist transitiv
• R ⊆R2 und R2 ist reflexiv und transitiv
• R ⊆R3 und R3 ist reflexiv, transitiv und symmetrisch.
Aufgabe 2
Es seien A und B Mengen mit Halbordnungsrelationen ≤A auf A und ≤B auf B.
Auf der Menge A×B von A sei eine Relation R definiert durch
R ={((a1, b1),(a2, b2))∈(A×B)2 |a1 ≤Aa2 ∧ b1 ≤B b2},
d.h. (a1, b1)R(a2, b2) ⇔a1 ≤Aa2 ∧b1 ≤B b2
Zeigen Sie, dass Reine Halbordnungsrelation ist. IstR eine Totalordnung, wenn≤A und ≤B Totalordnungen sind?
Aufgabe 3
Zeigen Sie, dass N3 abz¨ahlbar ist.
Aufgabe 4
Wir betrachten die Halbordnungsrelation | auf der MengeN der nat¨urlichen Zahlen (mit 0). (a|b heißt a teilt b, vgl ¨US 3) F¨ur die folgenden Mengen M bestimme man Maximum, Minimum, Infimum und Supremum bez¨uglich der Halbordnung, falls diese existieren. (Hinweis: Beachten Sie dass das Infimum/Supremum einer Menge nicht unbedingt zur Menge geh¨oren muss, aber zur GrundmengeN)
(a) M ={2,6,12,18,24,36}
(b) M =N
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