Technische Universit¨at Ilmenau WS 2014/15 Institut f¨ur Mathematik
Prof. J. M. Schmidt, Dr. J.Schreyer
Grundlagen und Diskrete Strukturen f¨ ur Informatiker Hausaufgabenserie 9
Aufgabe 1
Zwei Sportsch¨utzen schießen unabh¨angig voneinander je einmal auf eine Zielscheibe.
Die Wahrscheinlichkeit, dabei eine 10 zu treffen ist f¨ur den ersten Sch¨utzen 0.9 und f¨ur den zweiten 0.8. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ur, dass:
(a) beide eine 10 treffen, (b) genau einer eine 10 trifft,
(c) mindestens einer eine 10 trifft?
(d) Wie oft muss der zweite Sch¨utze schießen, damit die Wahrscheinlichkeit min- destens einmal eine 10 zu treffen mindesten 0.99 ist?
Aufgabe 2
Drei der acht Ecken eines W¨urfels werden zuf¨allig und gleichwahrscheinlich aus- gew¨ahlt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨ur, dass die Ecken paarweise nicht durch eine Kante verbunden sind?
Aufgabe 3
F¨ur das Sportfest der Fakult¨at wird Geld gesammelt. 150 Studenten sowie 80 Mit- arbeiter beteiligen sich. Von den Studenten spendet jeder gleichwahrscheinlich 0,1,2 oder 3 Euro. Jeder Mitarbeiter spendet mit Wahrscheinlichkeit 20 Prozent nichts, zu 20 Prozent 5 Euro, zu 50 Prozent 10 Euro und zu 10 Prozent 20 Euro.
(a) Was ist die erwartete Summe der Einnahmen?
(b) Mit Hilfe der Markov-Ungleichung weise man nach, dass die Wahrscheinlich- keit, mindestens 1000 Euro einzusammeln kleiner als 0.9 ist.
Aufgabe 4
Beim Biathlon wird auf 5 Scheiben geschossen. Wird mindestens eine der Scheiben nicht getroffen, darf noch insgesamt h¨ochstens zweimal nachgeladen werden (d.h.
maximal 7 Sch¨usse). Sind auch nach den 7 Sch¨ussen Scheiben nicht getroffen, so muss f¨ur jede nicht getroffene Scheibe eine Strafrunde gelaufen werden. Die Treffer- wahrscheinlichkeit pro Schuss betrage 80 Prozent. Es bezeichne X die Anzahl der abgegebenen Sch¨usse und Y die Anzahl der Strafrunden. Berechnen Sie f¨ur beide Zufallsgr¨oßen die Einzelwahrscheinlichkeiten sowie den Erwartungswert.
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