Technische Universit¨at Ilmenau WS 2014/15 Institut f¨ur Mathematik
Prof. J. M. Schmidt, Dr. J.Schreyer
Grundlagen und Diskrete Strukturen f¨ ur Informatiker Hausaufgabenserie 6
Aufgabe 1
Beweisen Sie, dass f¨ur alle k, n∈N mit k ≤n die Gleichung n+ 1
k
=
k
X
i=0
n−i k−i
gilt. (kombinatorischer Beweis oder Induktionsbeweis)
Aufgabe 2
Beweisen Sie f¨ur n∈N die Gleichung
n
X
k=0
n k
2
= 2n
n
.
Hinweis: Welchen Koeffizienten hat xn, wenn man (1 +x)n quadriert und ausmulti- pliziert?
Aufgabe 3
Bestimmen Sie die Anzahl der verschiedenen W¨orter der L¨ange 10 ¨uber {0,1}, die mit 1111 beginnen oder innerhalb der ersten 5 Zeichen eine ungerade Anzahl von Nullen haben.
Aufgabe 4
Die 9 Professoren eines Institutes fahren entweder Mercedes Benz, BMW oder Renault Clio.
(a) Wieviele verschiedene M¨oglichkeiten f¨ur die Anzahlen der Autos pro Typ gibt es? (Eine M¨oglichkeit w¨aren z.b. 8 BMW und ein Renault Clio. Es soll nicht unterschieden werden, wer das Auto f¨ahrt.)
(b) Geben Sie eine allgemeine Formel an, wenn es sich um p Professoren und a Autotypen handelt. (ohne Beweis)
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