Technische Universit¨at Ilmenau WS 2014/15 Institut f¨ur Mathematik
Prof. J. M. Schmidt, Dr. J.Schreyer
Grundlagen und Diskrete Strukturen f¨ ur Informatiker Hausaufgabenserie 7
Aufgabe 1
Es seien A, B beliebige Mengen. Beweisen oder widerlegen Sie:
(a)
A
2
∩
B
2
=
A∩B
2
(b)
A
2
∪
B
2
=
A∪B
2
Aufgabe 2
Es sei D={(x, y)∈R2 |x≥0, y ≥0, x+y≤1} Weiterhin sei die Halbordnung ≤ auf R2 gegeben mit
(x1, y1)≤(x2, y2)⇔x1 ≤x2∧y1 ≤y2
Bestimmen Sie Minimum, Maximum, Infimum und Supremum der Menge, falls diese existieren.
Aufgabe 3
Ein bekanntes Spiel besteht aus 3 vertikalen St¨aben und n ∈ N zentral gelochten Scheiben verschiedener Gr¨oße, die auf die St¨abe gesteckt werden k¨onnen. W¨ahrend des gesamten Spiels darf keine gr¨oßere Scheibe auf einer kleineren liegen. Zu Beginn des Spiels befinden sich alle n Scheiben auf dem StabA. Das Ziel des Spiels besteht nun darin, durch einzelnes Umstecken allenScheiben unter Verwendung der 3 St¨abe auf StabB zu bringen. Beweisen Sie durch vollst¨andige Induktion, dass die Aufgabe in 2n−1 Schritten gelingt.
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Aufgabe 4
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
(a) Beim W¨urfeln mit 3 W¨urfeln ist die Augensumme durch 3 teilbar.
(b) Beim Wrfeln mit 5 W¨urfeln ist die Augensumme gerade.
Geben Sie jeweils eine Begr¨undung an.
2
