B Die MatrixA w¨are auf Diagonalform zu bringen:
A=
1 2 3 2 6 2 3 2 1
1. Berechnung der Eigenwerte vonA: (a) Charakteristisches Polynom:
P(λ) =
1−λ 2 3
2 6−λ 2
3 2 1−λ
=. . .=−λ3+ 8λ2+ 4λ−32
(b) Nullstellen:
• λ1= 2 durch Ausprobieren der Teiler von 32.
• Polynomdivision: (λ3−8λ2−4λ+ 32)÷(λ−2) =λ2−6λ−16
⇒λ2,3= 3±√
9 + 16, alsoλ2= 8 undλ3=−2 2. Berechnung der Eigenvektoren der MatrixA
(a) zuλ1= 2:
−1 2 3
2 4 2
3 2 −1
;
−1 2 3 0 8 8 0 8 8
;
−1 2 3 0 1 1 0 0 0
⇒ ~v1=
1
−1 1
⇒ ~u1= 1
√3
1
−1 1
(b) zuλ2= 8:
−7 2 3 2 −2 2 3 2 −7 ;
1 −1 1 0 −5 10 0 −5 10 ;
1 −1 1 0 1 −2
0 0 0 ⇒ ~v2=
1 2 1
⇒ ~u2= 1
√6
1 2 1
(c) zuλ3=−2:
3 2 3 2 8 2 3 2 3
;
1 4 1
0 −10 0
0 0 0
;
1 4 1 0 1 0 0 0 0
⇒ ~v3=
−1 0 1
⇒ ~u3= 1
√2
−1 0 1
Da alle Eigenwerte algebraische Vielfachheit 1 haben, bilden die Eigenvektoren ein Orthonormalsystem.
3. Anschreiben der Transformationsmatrix
T =
1
√3 1
√6
−1
√2
−1
√3 2
√6 0
1
√3 1
√6 1
√2
T−1=Tt=
1
√3
−1
√3 1
√3
1
√6 2
√6 1
√6
−1
√2 0 √1 2
4. Resultat:
T−1AT =
1
√3
−1
√3 1
√3
1
√6 2
√6 1
√6
−1
√2 0 √1 2
·
1 2 3 2 6 2 3 2 1
·
1
√3 1
√6
−1
√2
−1
√3 2
√6 0
1
√3 1
√6 1
√2
=
2 0 0
0 8 0
0 0 −2
=D
