Wie implementiert man eigentlich die Polynom-Division?

(1)

Ein (7,4)-Code-Beispiel

William Stallings, Wireless Communications & Networks, 2nd edition, Prentice Hall, 2005

Generator-Polynom: P(X) = X³ + X² + 1

Bemerkung:

• Es ist 7 = 2^3-1, also nach voriger Überlegung sind alle 1-Bit-Fehler korrigierbar

• Beachte auch d_min der Codewörter ist 3, also in der Tat alle 1-Bit-Fehler korrigierbar

(2)

Wie implementiert man eigentlich die Polynom-Division?

    

Beispiel: Block-Syndrom Generator für X^n-k + A_n-k-1 x^n-k-1 + ... + A₂ X² + A₁ X + 1

Mittels Linear-Feedback-Shift-Register (LFSR)

(3)

Konkrete CRC-Beispiele

Bose-Chaudhuri-Hocquenhem (BCH)

 Hier keine genauen Details wie diese konstruiert werden

 Nur generell: es können für gegebene m und t geeignete binäre (n,k)-BCH-Codes mit folgenden Parametern konstruiert werden

 Blocklänge: n = 2^m– 1

 Anzahl Check-Bits: n – k · m ¢ t

 Minimale Distanz der Codewörter: d_min ¸ 2t + 1

 Code kann dann alle Kombinationen von t oder weniger fehlerhaften Bits korigieren

 Beispiele von BCH-Generator-Polynomen

Reed-Solomon-Codes (RS) sind eine BCH-Subklasse (hier sei nur der Code-Name genannt; keine weiteren Details)

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Übersicht

Elektromagnetische Wellen

Frequenzen und Regulierungen Antennen

Signale

Signalausbreitung Multiplex

Modulation

Bandspreizverfahren Codierung

 Rauschen und Übertragungsfehler

 Fehlerdetektion

 Block-Codes

 Faltungs-Codes

(5)

Faltungscodes

Idee von (n,k,K)-Faltungs-Codes

 Teile zu übertragenden Bitstrom in (sehr kleine) k-Bit-Blöcke

 Überführe jeden k-Bit-Block in n-Bit-Block

 n-Bit-Block ist der k-Bit-Block mit zusätzlicher Redundanz

 Die letzten K-1 zu übertragenden k-Bit-Blöcke fließen in die Redundanzberechnung des aktuellen n-Bit-Blockes ein

 Korrigiere empfangene k-Bit-Blöcke im empfangenen Bitstrom direkt

„modulo einer kleinen Fenstergröße“

Die Idee an einem konkreten Beispiel: Viterbi-Algorithmus

b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10 b11 b12

z.B. K=4

c1 c2 c3 c4 c5

…

(6)

Beispiel eines (2,1,3)-Encoders



• Übertrage die Output- Bits

• Empfänger muss

hierzu die Eingabe-Bits rekonstruieren

(7)

Decodierung: Vorüberlegung

Trellis-Diagramm: Skizze an der Tafel

(8)

Output-Bits des Senders beschreiben einen Pfad im Trellis;

Beispiel

Zu senden: 1 1 0 1 0 0 0 Erzeugt: 11|01|01|00|10|11|00

(9)

Decoding: zunächst ohne Fehler

Gesendet: 11|01|01|00|10|11|00 Empfangen: 11|01|01|00|10|11|00 also: 1 1 0 1 0 0 0

(10)

Decoding: jetzt mit einem Fehler

Gesendet: 11|01|01|00|10|11|00 Empfangen: 11|01|01|01|10|11|00 also: 1 1 0 ?

(11)

Viterbi-Algorithmus

Prinzipielle Idee: finde den Pfad im Trellis, der von der empfangenen Bit- Folge am wenigsten abweicht

 Distanzmetrik erlaubt verschiedene Varianten

 Wir betrachten hier die Hamming-Distanz

Algorithmus für eine Fenstergröße b

 Schritt 0: markiere Trellis- Startzustand mit 0

 Schritt i: finde für jeden Trellis-Zustand den/die Pfad/e der/die folgende Gleichung minimiert/minimieren

 Gewicht des Vorgängerzustands + Hamming-Distanz zwischen der letzten Kante und der empfangenen Kantenbeschriftung

 Schritt b: wenn alle so gefundenen Pfade eine erste gemeinsame Kante haben, dann ist die Eingabe für diese Kante das Ergebnis; sonst nicht korrigierbarer Fehler

Ein Beispiel!!!! …

(12)

Ein Beispiel für Fenstergröße 7

10 01 01 00 10 11 00

(13)

Randbemerkung: Turbo-Codes

Häufig eingesetzt in 3G-Drahtlossystemen (deswegen hier zumindest mal genannt)

Reichen nahe an die Shannon-Schranke heran Es gibt viele Arten von Turbo-Codes

Viele basieren auf dem Prinzip der Faltungs-Codes Keine weiteren Details an diese Stelle

(Thema einer Informations- und Codierungstheorie-Veranstaltung)

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Zusammenfassung und Literatur

Elektromagnetische Wellen

Frequenzen und Regulierungen Antennen

Signale

Signalausbreitung Multiplex

Modulation

Bandspreizverfahren Codierung

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Zusammenfassung

Was lernen wir als Informatiker daraus? Wir können nicht erwarten, dass die E- und Nachrichtentechniker uns Kanäle zaubern, die so gut wie die drahtgebundenen sind

Insbesondere: je größer die Mobilität (Geräte selber, aber auch die Umgebung) desto Fehleranfälliger wird der Kanal

Wir müssen auf allen darauf aufbauenden Schichten für solche Störfälle gewappnet sein

Gute Kenntnis der unteren Schichten ist auch notwendig um für das betrachtete Einsatzgebiet die richtigen Systemannahmen für höhere Schichten treffen zu können

Einflussnahme von Algorithmen auf die untersten Schichten:

Leistungseinstellung, Gerätepositionierung (vgl. demnächst angebotene Sensor-Roboter-Projekt)

Die hier vorgestellten Modelle eignen sich auch gut für die analytische Bewertung und Computer-Simulation von Protokolle die in den

Schichten darüber liegen

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Literatur

[Schiller2003] Jochen Schiller, „Mobilkommunikation“, 2te überarbeitete Auflage, 2003 Kapitel 2: Drahtlose Übertragung

[Rappaport2002] Theodore Rappaport, „Wireless Communications, Principles and Practice“, Second Edition, Prentice Hall, 2002

4.2 Free Space Propagation Model 4.3 Relating Power to Electric Field

(ignorieren Sie einfach die Formeln 4.10, 4.11 und 4.12 und den Begriff „intrinsic impedance“) 4.9.1 Log-distance Path Loss Model

4.9.2 Log-normal Shadowing

[Schwartz2005] Mischa Schwartz, „Mobile Wireless Communications“, Cambride University Press, 2005 2.2 Wireless Case

[Stallings2002] William Stallings, Wireless Communications & Networks, 2nd edition, Prentice Hall, 2005

5.1 Antennas

8.2 Block Error Correction Codes (den dort auch beschriebenen Hamming-Code haben wir hier aber nicht behandelt)

8.3 Convolutional Codes

[Bronstein2008] I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, G. Musiol, H. Mühlig, „Taschenbuch der Mathematik“, 7. vollständig überarbeitete und ergänzte Auflage, Verlag Harri Deutsch, 2008

1.5 Komplexe Zahlen (falls Sie eine Auffrischung dieses Wissens benötigen)