Wie implementiert man eigentlich die Polynom-Division?

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Ein (7,4)-Code-Beispiel

William Stallings, Wireless Communications & Networks, 2nd edition, Prentice Hall, 2005

Generator-Polynom: P(X) = X³ + X² + 1

Bemerkung:

• Es ist 7 = 2^3-1, also nach voriger Überlegung sind alle 1-Bit-Fehler korrigierbar

• Beachte auch d_min der Codewörter ist 3, also in der Tat alle 1-Bit-Fehler korrigierbar

(2)

Wie implementiert man eigentlich die Polynom-Division?

    

Beispiel: Block-Syndrom Generator für X^n-k + A_n-k-1 x^n-k-1 + ... + A₂ X² + A₁ X + 1

Mittels Linear-Feedback-Shift-Register (LFSR)

(3)

Konkrete CRC-Beispiele

Bose-Chaudhuri-Hocquenhem (BCH)

 Hier keine genauen Details wie diese konstruiert werden

 Nur generell: es können für gegebene m und t geeignete binäre (n,k)-BCH-Codes mit folgenden Parametern konstruiert werden

 Blocklänge: n = 2^m– 1

 Anzahl Check-Bits: n – k <= m * t

 Minimale Distanz der Codewörter: d_min >= 2t + 1

 Code kann dann alle Kombinationen von t oder weniger fehlerhaften Bits korigieren

 Beispiele von BCH-Generator-Polynomen

Reed-Solomon-Codes (RS) sind eine BCH-Subklasse (hier sei nur der Code-Name genannt; keine weiteren Details)

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Übersicht

Elektromagnetische Wellen

Frequenzen und Regulierungen Antennen

Signale

Signalausbreitung Multiplex

Modulation

Bandspreizverfahren

Codierung

 Rauschen und Übertragungsfehler

 Fehlerdetektion

 Block-Codes

 Faltungs-Codes

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Faltungscodes

Idee von (n,k,K)-Faltungs-Codes

 Teile zu übertragenden Bitstrom in (sehr kleine) k-Bit-Blöcke

 Überführe jeden k-Bit-Block in n-Bit-Block

 n-Bit-Block ist der k-Bit-Block mit zusätzlicher Redundanz

 Die letzten K-1 zu übertragenden k-Bit-Blöcke fließen in die Redundanzberechnung des aktuellen n-Bit-Blockes ein

 Korrigiere empfangene k-Bit-Blöcke im empfangenen Bitstrom direkt

„modulo einer kleinen Fenstergröße“

Die Idee an einem konkreten Beispiel: Viterbi-Algorithmus

b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10 b11 b12

z.B. K=4

c1 c2 c3 c4 c5

…

(6)

Beispiel eines (2,1,3)-Encoders



• Übertrage die Output- Bits

• Empfänger muss

hierzu die Eingabe-Bits rekonstruieren

(7)

Decodierung: Vorüberlegung

Trellis-Diagramm: Skizze an der Tafel

(8)

Output-Bits des Senders beschreiben einen Pfad im Trellis;

Beispiel

Zu senden: 1 1 0 1 0 0 0 Erzeugt: 11|01|01|00|10|11|00

(9)

Decoding: zunächst ohne Fehler

Gesendet: 11|01|01|00|10|11|00 Empfangen: 11|01|01|00|10|11|00 also: 1 1 0 1 0 0 0

(10)

Decoding: jetzt mit einem Fehler

Gesendet: 11|01|01|00|10|11|00 Empfangen: 11|01|01|01|10|11|00 also: 1 1 0 ?

(11)

Viterbi-Algorithmus

Prinzipielle Idee: finde den Pfad im Trellis, der von der empfangenen Bit- Folge am wenigsten abweicht

 Distanzmetrik erlaubt verschiedene Varianten

 Wir betrachten hier die Hamming-Distanz

Algorithmus für eine Fenstergröße b

 Schritt 0: markiere Trellis- Startzustand mit 0

 Schritt i: finde für jeden Trellis-Zustand den/die Pfad/e der/die folgende Gleichung minimiert/minimieren

 Gewicht des Vorgängerzustands + Hamming-Distanz zwischen der letzten Kante und der empfangenen Kantenbeschriftung

 Schritt b: wenn alle so gefundenen Pfade eine erste gemeinsame Kante haben, dann ist die Eingabe für diese Kante das Ergebnis; sonst nicht korrigierbarer Fehler

Ein Beispiel!!!! …

(12)

Ein Beispiel für Fenstergröße 7

10 01 01 00 10 11 00