Polynom‐Division Modulo 2
Grundlagen der Rechnernetze ‐Übertragungssicherung 14
X
6+ X
4+ X
2+ X
1+ 1 : X
3+ X
2+ 1 =
SS 2012
00101
Auswirkung von Fehlern
10100
10001
T
T
rE
Sender
Empfänger
Für Generator P(X) und T(X)/P(X) = Q(X) werden nicht teilbare Fehler‐Pattern erkannt:
Erkennbare und nicht erkennbare Fehler
Grundlagen der Rechnernetze ‐Übertragungssicherung 16
Ein Fehler ist nicht erkennbar genau dann wenn:
Single‐Bitfehler ist immer erkennbar, wenn P(X) mindestens zwei Terme enthält
Bitfehler‐Burst < Anzahl Check‐Bits ist immer erkennbar, wenn P(X) den Term 1 enthält
SS 2012
Weitere CRC‐Fakten
Double‐Bitfehler immer erkennbar, wenn P(X) einen Faktor mit drei Termen besitzt (ohne Beweis)
Ungeradzahlige Bitfehler immer erkennbar, solange P(X) einen Faktor (X+1) enthält (ohne Beweis)
Beliebte Polynome
CRC‐12 = X
12+ X
11+ X
3+ X
2+ 1 CRC‐16 = X
16+ X
15+ X
2+ 1
CRC‐CCITT = X
16+ X
12+ X
5+ 1
CRC‐32 = X
32+ X
26+ X
23+ X
22+ X
16+ X
12+ X
11+ X
10+ X
8+ X
7+ X
5+ X
4+ X
2+ X + 1
Fehlerkorrektur
Grundlagen der Rechnernetze ‐Übertragungssicherung 18
SS 2012
Ablauf der Fehlerkorrektur
Bildquelle: William Stallings, „Data and Computer Communications“, 2004
Beispiel Two‐Dimensional‐Parity
Grundlagen der Rechnernetze ‐Übertragungssicherung 20
0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1
SS 2012
Erkenn‐ und Korrigierbarkeit von Fehlern
0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
Ein‐Bit‐Fehler immer korrigierbar
0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
Zwei‐Bit‐Fehler nicht immer korrigierbar
0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
Zwei‐Bit‐Fehler immer erkennbar Nicht‐erkennbarer Fehler
Hamming‐Distanz
Grundlagen der Rechnernetze ‐Übertragungssicherung 22
Hamming‐Distanz d(v1, v2) zwischen zwei n‐Bit‐Sequenzen v1 und v2
Beispiel: vier 4‐Bit‐Sequenzen mit einer paarweisen Hamming‐Distanz von
mindestens 2
Wieviele Bit‐Fehler können erkannt werden?
SS 2012
Allgemein:
Ablauf der Übertragung im Falle keiner Bitfehler
Block‐Codes
Datenblock Codewort 00 -> 00000 01 -> 00111 10 -> 11001 11 -> 11110
Erkennen von Bit‐Fehlern: Es sei Code = {b1,...,bk} und es werde b empfangen:
Sender
Empfänger
f : Datenblock
Codewort
Korrigieren von Bit‐Fehlern: Es sei Code = {b
1,...,b
k} und es werde b empfangen:
Korrigieren von Bitfehlern
Grundlagen der Rechnernetze ‐Übertragungssicherung 24
Empfangen Nächstes gültiges CW Daten Datenblock Codewort
00 -> 00000 01 -> 00111 10 -> 11001 11 -> 11110
SS 2012
Für k Daten‐Bits und n‐Bit Code‐Wörter gilt
Eindeutiges C‐Wort für jeden D‐Block, also
Benötigte Anzahl gültiger Code‐Wörter
Redundante Bits und Code‐Redundanz
Code‐Rate
Code‐Distanz für Code {b1,...,bk}
Benötigtes Verhältnis zwischen k und r=n‐
k zum Korrigieren von allen 1‐Bit‐Fehlern?
Hamming‐Code
Grundlagen der Rechnernetze ‐Übertragungssicherung 26
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Daten‐Bits Check‐Bits
3 = 0 0 1 1 5 = 0 1 0 1 6 = 0 1 1 0 7 = 0 1 1 1 9 = 1 0 0 1 10 = 1 0 1 0 11 = 1 0 1 1
Beispiel‐Daten‐Bits:
1 0 0 1 0 0 0
SS 2012
Erkennen eines Ein‐Bit‐Fehlers
0 0 1 1 0 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 0 0 0
0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0
Original Code‐Wort Ein‐Bit‐Fehler
3 = 0 0 1 1 5 = 0 1 0 1 6 = 0 1 1 0 7 = 0 1 1 1 9 = 1 0 0 1 10 = 1 0 1 0 11 = 1 0 1 1
Check Ergebnis
Daten‐Bits Check‐Bits
Hamming‐Code erreicht die Schranke
Grundlagen der Rechnernetze ‐Übertragungssicherung 28
Wie eben für k Daten‐Bits und n‐Bit Code‐Wörter ausgerechnet:
Benötigtes Verhältnis zwischen k und r=n‐k zum Korrigieren von allen 1‐Bit‐
Fehlern:
r+k+1 ≤ 2 r
Beispiel für unten abgebildeten Hamming‐Code:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Daten‐Bits Check‐Bits Was wenn Daten nur bis 11?
SS 2012
Umgang mit Bit‐Fehler‐Bursts
Bildquelle: Andrew S. Tanenbaum, „Computer Networks“, Fourth Edition, 2003
Also: