Komplexes Taylor-Polynom

Komplexes Taylor-Polynom

Eine in einem Gebiet D analytische Funktion f wird durch das Taylor-Polynom

p_n(z) =

n

X

k=0

f^(k)(a)

k! (z−a)^k

in jedem Punkt a∈D mit der Ordnungn+ 1 approximiert:

|f(z)−p_n(z)|=O |z−a|ⁿ⁺¹

, z →a.

Taylor-Polynom 1-1

Das Restglied besitzt die Integraldarstellung

f(z)−p_n(z) =



 1 2πi

Z

C

f(w)

(w −a)ⁿ⁺¹(w−z)dw



 (z−a)ⁿ⁺¹,

mit einem entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreis C in D um a, der z enth¨alt.

Beweis:

(i) Integralformel:

Beweis durch Induktion bzgl.n n= 0:

Cauchys Integralformel =⇒ f(z)−p₀(z) = f(z)−f(a)

= 1

2πi Z

C

f(w)

(w−z)dw− 1 2πi

Z

C

f(w) (w−a)dw

Umformung 1 2πi

Z

C

f(w)(w −a)−(w−z)

(w −a)(w−z) dw = 1 2πi

Z

C

f(w)(z−a) (w−a)(w −z)dw

Taylor-Polynom 2-1

n→n+ 1:

f(z)−pn+1(z) = f(z)−pn(z)−f⁽ⁿ⁺¹⁾(a)

(n+ 1)! (z−a)ⁿ⁺¹

=



 1 2πi

Z

C

f(w)

(w−a)ⁿ⁺¹(w −z)dw



 (z−a)ⁿ⁺¹

−



 1 2πi

Z

C

f(w) (w −a)ⁿ⁺² dw



(z−a)ⁿ⁺¹ aufgrund der Induktionsvoraussetzung und Cauchys Integralformel Umformung



 1 2πi

Z

C

f(w) (w −a)ⁿ⁺¹

(w−a)−(w−z) (w−a)(w−z) dw



(z−a)ⁿ⁺¹ =

(ii) Absch¨atzung:

C: Kreis um amit Radiusr <dist(a, ∂D) Darstellung des Restglieds f¨ur|z−a|<r =⇒

|f(z)−p_n(z)| =

1 2πi

Z

|w−a|=r

f(w)

(w −a)ⁿ⁺¹(w−z)dw(z−a)ⁿ⁺¹

≤ 1

2π(2πr) |z−a|ⁿ⁺¹

rⁿ⁺¹(r− |z−a|) max

|w−a|=r|f(w)|

= O |z−a|ⁿ⁺¹

Taylor-Polynom 2-3