Beweis für sin

Beweis für sin

(x) = cos(x)

Um eine Funktion abzuleiten, müssen wir den Differentialquotienten berechnen:

f⁰(x₀) = lim

h→0

sin(x0+h)−sin(x0) h

Wegen des Zusammenhanges

sinα−sinβ= 2·cosα+β

2 ·sinα−β

2 (Additionstheorem) kann man umformen zu (α=x₀ +h,β =x)

f⁰(x₀) = lim

h→0

2·cos^2x0₂^+h ·sin^h₂

h = lim

h→0

"

cos

x₀+h 2

· sin^h₂

h 2

#

Nun strebt aber (siehe unten) der Ausdruck sin^h₂

h 2

fürh→0gegen1. Somit strebt der Ausdruck insgesamt fürh→0gegencosx₀: f⁰(x₀) = cosx₀

Zu zeigen bleibt, dass limx→0 sinx

x = 1. Für 0< x < ^π₂ gilt gemäß der Skizze:

A∆0CB < A_Sektor0CB < A∆0CD 1·sinx

2 < ¹²₂^·x < ^1·tan₂ ^x sinx < x < tanx 1 < _sin^x_x < _cos¹_x 1 > ^sin_x^x > cosx

↓ ↓

1 1

Ergebnis:limx→0 sinx x = 1

1