Aufgabe 12. Es sei a ∈ R
3mit kartesischen Koordinaten (x, y, z). Die folgende Zuordnungen ¨ uberf¨ uhren diese in die sogenannten Kugelkoordinaten (r, θ, ϕ) verm¨ oge
x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.
(i) Bestimmen Sie die dazugeh¨ orige Funktionaldeterminante zu den obigen Trans- formationen.
(ii) Bestimmen Sie mit (i) und dem Transformationssatz das Volumen der Kugel mit der Gleichung
x
2+ y
2+ z
2≤ R
2f¨ ur R ∈ R
+0.
(i) Die Funktionaldeterminante ist die Determinante der Jacobi-Matrix. Wir erhalten
det ∂(x, y, z)
∂(r, θ, ϕ) =
sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ −r sin θ sin ϕ sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ
cos θ −r sin θ 0
.
Entwicklung nach der 3. Zeile ergibt det ∂(x, y, z)
∂ (r, θ, ϕ) = cos θ
r cos θ cos ϕ −r sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ
+ r sin θ
sin θ cos ϕ −r sin θ sin ϕ sin θ sin ϕ r sin θ cos ϕ
= r
2sin
3θ + r
2sin θ cos
2θ = r
2sin θ.
(ii) F¨ ur R ∈ R
+0sei
K := {(x, y, z) ∈ R
3: x
2+ y
2+ z
2≤ R
2} die Kugel mit Radius R. Gesucht ist das Volumen V und es gilt
V = Z
K
dxdydz.
F¨ ur die Integrationsgrenzen gilt f¨ ur die obige Koordinatentransformation:
0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π.
Diese Integrationsgrenzen erhalten wir mit folgender ¨ Uberlegung: Wir er- halten die Kugel, indem wir den Halbkreis (0 ≤ θ ≤ π) in der Ebene mit Radius R im Raum rotieren (0 ≤ ϕ ≤ 2π).
Mit dem Transformationssatz erhalten wir Z
K
dxdydz = Z
2π0
Z
π 0Z
R 0r
2sin θdrdθdϕ
= Z
2π0
Z
π 0R3
3
sin θdθdϕ = Z
2π0 R3
3
[− cos θ]
π0dϕ = Z
2π0 2
3
R
3dϕ =
43π
3.
2
