σ (a, θ, ϕ) = σ 0 sin 2 θ cos 2ϕ

Heiko Dumlich, Max Homann

28. Mai 2006

15 Flächenladung

Wirbetrachten eineKugel desRadius

a

^{,mit der}Flächenladung:

σ (a, θ, ϕ) = σ ₀ sin ² θ cos 2ϕ

⁽¹⁾

auf der Oberäche der Kugel, wobei

σ ₀

^{eineKonstante darstellt. Wirbestimmendas}

PotentialinnerhalbundausserhalbderKugel.FürdasPotentialgiltmitdemallgemeinen

Ansatz:

φ (r, θ, ϕ) =

∞

X

l=0 l

X

m= − l

h

A _lm r ^l + B _lm r ^{− (l+1)} i

· Y _lm (θ, ϕ)

Es gilt

∆φ = 0

^{, da nur die Oberäche derKugel geladen ist und im restlichen Raum}

keine Ladung existiert. Wir unterscheiden die zwei Fälle des inneren Potentials

φ i

^und

desäuÿeren Potentials

φ _a

^{mit den Ansätzen:}

φ _i =

∞

X

l=0 l

X

m= − l

h

A _lm r ^l + B _lm r ^{− (l+1)} i

· Y _lm (θ, ϕ)

φ _a =

∞

X

l=0 l

X

m= − l

h

C _lm r ^l + D _lm r ^{− (l+1)} i

· Y _lm (θ, ϕ)

DerInnenraummussungeladensein,dadieLadungnachaussenstrebt,d.h.aber,dass

im Ursprung das Potential nicht unendlich sein kann,da dort keine Ladung ist. Lassen

wir jedoch

r → 0

^{laufen, so wird der}

B _lm r ^{− (l+1)}

^{Term gegen}

”∞”

^{streben, also muss}

B lm = 0

^{sein. Für das äuÿere Potential folgt die} Vereinfachung, dass

C lm = 0

^gelten

muss, da sonst imUnendlichen das Potential gegen

”∞”

^{streben würde.Somit erhalten}

wirdiedurch dieRandbedingungen vereinfachten Ansätze:

φ _i =

∞

X

l=0 l

X

m= − l

A _lm r ^l · Y _lm (θ, ϕ)

⁽²⁾

φ _a =

∞

X

l=0 l

X

m= − l

D _lm r ^{− (l+1)} · Y _lm (θ, ϕ)

⁽³⁾

Nun gilt,da dasPotential stetigsein mussan derOberäche derKugel:

φ _i (a, θ, ϕ) = φ _a (a, θ, ϕ)

⁽⁴⁾

An derKugeloberäche kommt eszumSprung der

~r − Komponente

^des

E ~ − F eldes

^,

somitgilt also:

∂φ i

∂r | _a − − ∂φ a

∂r | _a ⁺ = σ

₀

⁽⁵⁾

Nun können wir nachdem wir

(2)

^und

(3)

^{partiell nach}

r

^{abgeleitet haben in}

(5)

einsetzen underhalten mit

(1)

^:

∞

X

l=0 l

X

m= − l

h

lA _lm r ^{l − 1} + (l + 1) D _lm r ^{− (l+2)} i

· Y _lm (θ, ϕ) = 1

₀ σ ₀ sin ² θ cos 2ϕ

NunndenwirfürdenAusdruck

sin ² θ cos 2ϕ = 2 q

2π

15 (Y ₂₂ (θ, ϕ) + Y _2, − 2 (θ, ϕ))

^,wobei

Y ₂₂ (θ, ϕ) = ¹ ₄ q

15

2π sin ² θe ^i2ϕ

^{,dies können wirnun einsetzen:}

P ^∞

l=0

P l m= − l

lA _lm a ^{l − 1} + (l + 1) D _lm a ^{− (l+2)}

· Y _lm (θ, ϕ)

=

1 0 σ ₀ 2 q

2π

15 (Y ₂₂ (θ, ϕ) + Y _2, − 2 (θ, ϕ))

NunkönnenwirbeideSeitenmit

Y _l ^∗ 0 ,m ⁰ (θ, ϕ)

multiplizierenundüber

R 2π 0 dϕ R π

0 dθ sin θ

integrieren underhalten:

P ∞ l=0

P l m= − l

lA _lm a ^{l − 1} + (l + 1) D _lm a ^{− (l+2)} R _2π

0 dϕ R π

0 dθ sin θY _lm (θ, ϕ) Y _l ^∗ _{0 ,m 0} (θ, ϕ)

=

1 0 σ ₀ 2

q 2π 15

R _2π

0 dϕ R π

0 dθ sin θ (Y ₂₂ (θ, ϕ) + Y _2, − 2 (θ, ϕ)) Y _l ^∗ _{0 ,m 0} (θ, ϕ)

Nun können wirdieOrthogonalitätsbedingung nutzen:

Z

dΩ Y _lm ^∗ (θ, ϕ) Y _l 0 m ⁰ (θ, ϕ) = δ _l,l 0 δ _m,m 0

Somit folgt:

P ∞ l=0

P l m= − l

lA _lm a ^{l − 1} + (l + 1) D _lm a ^{− (l+2)}

δ _l,l 0 δ _m,m 0

=

2σ 0

0

q 2π

15 δ _2,l 0 δ _2,m 0 + δ _2,l 0 δ − 2,m ⁰

(6)

Nun vergleichen wirdieKoezienten, mit

(4)

^folgt:

A _lm = D _lm a ^{− (2l+1)}

⁽⁷⁾

bzw.

D _lm = A _lm a ^2l+1

⁽⁸⁾

Einsetzen von

(7)

ⁱⁿ

(6)

^liefert:

P ∞ l=0

P l

m= − l D _lm

la ^{− (2l+1)} a ^{l − 1} + (l + 1) a ^{− (l+2)}

δ _l,l 0 δ _m,m 0

=

2σ 0

0

q 2π

15 δ _2,l 0 δ _2,m 0 + δ _2,l 0 δ − 2,m ⁰

(9)

Hierbeierhaltenwirnurein

D _lm

^für

l = l ⁰

^und

m = m ⁰

^{.Nungilt jedoch,dass}

D _lm

^für

alle

l ⁰ 6= 2

^eine

0

^{liefert,somitmussalso}

l = l ⁰ = 2

^{gelten.Zudemerhaltenwireine}

0

^für

alleWerte

m = m ⁰ 6= 2, −2

^{.Wirbetrachtenalso diezweiFälle}

D _2, − 2

^und

D _2,2

^,fürdiese

folgt mit

(9) :

D _2, − 2 = 2σ 0

₀ r 2π

15 a ⁴

5

⁽¹⁰⁾

D _2,2 = 2σ _{0 0}

r 2π 15

a ⁴

5

⁽¹¹⁾

Nun können wir

(10)

^und

(11)

ⁱⁿ

(3)

^{einsetzen underhalten:}

φ _a = D _2,2 r ^{− 3} · Y _2,2 (θ, ϕ) + D _2, − 2 r ^{− 3} · Y _2, − 2 (θ, ϕ)

für dasäuÿere Potential. Nun können wirdiesnochexplizit angeben,somitfolgt:

φ a = σ ₀ 2 ₀

a ⁴

5 r ^{− 3} sin ² θe ^i2ϕ − σ ₀ 2 ₀

a ⁴

5 r ^{− 3} sin ² θe ^{− i2ϕ}

⇔ σ _{0 0}

a ⁴

5 r ^{− 3} sin ² θ

e ^i2ϕ − e ^{− i2ϕ} 2

Mit

cos 2ϕ =

e ^i2ϕ − e ^−i2ϕ 2

folgtnun:

φ _a = σ ₀ 5 ₀

a ⁴

r ³ sin ² θ cos 2ϕ

Betrachtenwirnundasinnere Potential,wobei wir

(8)

ⁱⁿ

(6)

^{einsetzen, um:}

P ∞ l=0

P l

m= − l A _lm

la ^{l − 1} + (l + 1) a ^2l+1 a ^{− (l+2)}

δ _l,l 0 δ _m,m 0

=

2σ 0

0

q 2π

15 δ _2,l 0 δ _2,m 0 + δ _2,l 0 δ − 2,m ⁰

(12)

zwei Koezienten

A _2, − 2

^und

A _2,2

^zu betrachten, da die anderen Koezienten alle ver- schwinden.Für diese zweiKoezientenfolgt aus

(12) :

A _2, − 2 = 2σ _{0 0}

r 2π 15

1

5a

⁽¹³⁾

A _2,2 = 2σ _{0 0}

r 2π 15

1

5a

⁽¹⁴⁾

Nun führt

(13)

^und

(14)

ⁱⁿ

(2)

^auf:

φ _i = A _2,2 r ² · Y _2,2 (θ, ϕ) + A _2, − 2 r ² · Y _2, − 2 (θ, ϕ)

Setzen wirdieexpliziten Ausdrückeein, sofolgt:

φ _i = σ ₀ 2 ₀

1

5a r ² sin ² θe ^2iϕ − σ ₀ 2 ₀

1

5a r ² sin ² θe ^{− 2iϕ}

dies können wirjedoch zu:

φ _i = σ ₀ 5 ₀

r ² a sin ² θ

e ^2iϕ − e ^{− 2iϕ} 2

umformen. Somit gilt also fürdasinnere Potential:

φ i = σ ₀ 5 ₀

r ²

a sin ² θ cos 2ϕ

Für dasinnere undäuÿere Potential folgt mit derHerleitung von oben:

φ _i (r, θ, ϕ) = σ ₀ 5 ₀

r ²

a sin ² θ cos 2ϕ

φ a (r, θ, ϕ) = σ ₀ 5 ₀

a ⁴

r ³ sin ² θ cos 2ϕ

Wobei fürdasinnere Potential

r < a

^{und für dasäuÿerePotential}

r > a

^{gelten muss,}

wodurchwir auch keineUnendlichkeit erhalten.

16 Dielektrikum

Wirbetrachtenzwei konzentrische leitende Kugeln vomRadius

a

^bzw.

b

^mit

b > a

^.Auf

diesen Kugeln bendet sich die Ladung

+Q

^bzw.

−Q.

^{Der Raumzwischen den Kugeln}

ist zurHälftemit einem Dielektrikum derDielektrizitätskonstanten

^gefüllt.

Wirbestimmen daselektrische Feld

E ~ = −∇φ

^{zwischen denKugeln, alsofür}

a < r < b.

Wirbenutzen denallgemeinen Ansatz:

φ (r, θ, ϕ) =

∞

X

l=0 l

X

m= − l

h

A _lm r ^l + B _lm r ^{− (l+1)} i

· Y _lm (θ, ϕ)

Daessich umeineazimutale Symmetriehandelt, vereinfacht sich dasProblemzu:

φ (r, θ) =

∞

X

l=0

h

A _l r ^l + B _l r ^{− (l+1)} i

· P _l (cos θ)

Da das Potential auf der Oberäche der inneren und äuÿeren Kugelschale konstant

seinmuss, darf keine

θ

Abhängigkeit auftreten,dies istjedoch nur derFall für

l = 0

^,da

für

l 6= 0

^die Legendre-Polynome eine

θ

-Abhängigkeit besitzen. Somit folgt also:

φ (r) = A ₀ + B ₀ r

Für das

E ~ − F eld

^{folgt somit:}

E ~ = B ₀ ~ x r ³

Wobei nun noch der Koezient

B ₀

^{zu bestimmen ist. Nun gilt für die} elektrische Verschiebung:

D ~ = (θ) E ~

mit:

(θ) =

( ₀ mit − π ≤ θ < 0 mit 0 ≤ θ ≤ π

wobei

(θ)

^dieWinkelabhängigkeitderKonstantenangibt, wobeiwirden Bereich mit undohne Dielektrikumsomitunterscheiden können.Somit gilt aberauch fürdieradiale

Komponente:

D _r = (θ) B ₀ r ²

Zwischenden Kugelschalengilt nun aus

R d ³ x ∇ · E ~ = R

d ³ x ^ρ(~ _{(~ x)} ^x) ⇔ R

d ³ x ∇ · (~ x) E ~ = Q :

Z

d ³ x ∇ · D ~ = Q ⇒ Z

dΩ r ² D _r = Q

Einsetzen von

D r

^{liefert nun:}

Z

dΩ B ₀ (θ) = Q ⇔ 2πB ₀

₀ Z 0

− 1

d cos θ + Z 1

0

d cos θ

= Q

Somit folgt alsofür den Koezienten

B ₀ : B ₀ = Q

2π ( + ₀ )

Nun können wirinunsere Gleichung für daselektrische Feld einsetzenund erhalten:

E ~ = Q 2π ( + ₀ )

~ x r ³

Diesentspricht also:

E ~ = Q 2πr ² ( + ₀ ) r ˆ

(b)

Um die Verteilung der Oberächenladung auf der inneren Kugel zu bestimmen, unter-

scheiden wirdie Fällefür den Bereich mit dem Dielektrikumund den Bereich ohne das

Dielektrikum,wobeiallgemein gilt:

~ n ·

E ~ ₂ − E ~ ₁

= Q

(~ x) S ₊ = σ (~ x)

Somit folgt,wennwirdieradialeKomponentebetrachtenundmit

(~ x)

multiplizieren:

E r = D r = σ

Nun folgt alsomit

D r = (θ) _2πr 2 ^Q (+ 0 )

^{,für das}Dielektrikum:

σ = Q

2πr ² ( + ₀ ) , mit 0 ≤ θ ≤ π

und für dasVakuum:

σ 0 = Q ₀

2πr ² ( + ₀ ) , mit − π ≤ θ < 0

Diessind dieOberächenladung auf derinneren Kugel.

17 Fläche

(a)

Wirbetrachtendievonder ebenen Kurve

C

umschlosseneFläche

S ~ _C = S _C ~n

^,mit

~ n

^der

Flächennormalen, für diese sollgezeigtwerden, dass:

S ~ C = − 1 2

I

C

d~l × ~ x

gilt. Hierzu benutzenwirden Stokesschen Satzmit geeignetem

A ~

^,esgilt:

I

C

d~l × ~ x = Z

S C

d~ S × ∇

× ~ x

ausdem allgemeinenStokesschen Satz:

Z

S C

d~ S ·

∇ × A ~

= I

C

d~l · A ~

Mitdiesem Ansatz folgtim Komponentenschreibweise:

Z

S C

d~ S × ∇

× ~ x = Z

S C

ijk dS i ∂ j (~e k × ~ x) = Z

S C

ijk dS i ∂ j klm x l ~e m

Nun können wirumstellenund

_{ijk klm} = δ _il δ _jm − δ _im δ _jl

^{verwenden underhalten:}

Z

S C

_ijk dS _i ∂ _{j klm} x _l ~e _m = Z

S C

(δ _il δ _jm − δ _im δ _jl ) dS _i ∂ _j x _l ~e _m

⇔ Z

S _C

dS _i ∂ _j x _i ~e _j − dS _i ∂ _j x _j ~e _i

Der erste Term verschwindet für alle Fälle

i 6= j

^{, während für den zweiten Term}

P 3

j=1 ∂ _j x _j = 3,

^{gilt,somit folgtalso:}

Z

S C

δ _ij dS _i ~e _j − 3 dS _i ~e _i = Z

S C

dS _i ~e _i − 3 dS _i ~e _i = −2 Z

S C

dS _i ~e _i

Somit folgt also,wenn wirdies inunserenAnsatz einsetzen:

I

C

d~l × ~ x = Z

S C

d~ S × ∇

× ~ x = −2 Z

S C

d~ S

nunkönnenwirnochmit

− ¹ ₂

multiplizierenunddierechteSeiteintegrierenunderhal- ten:

S ~ _C = − 1 2

I

C

d~l × ~ x

was zuzeigen war.

Wirbetrachteneine Ellipse mit den Halbachsen

a

^und

b

^mit

a > b

^{. Wirbestimmendie}

Fläche derEllipsemit Zentrum imUrsprung, hierzu lösenwirdasLinienintegral:

I

(dy x − dx y)

wobei wir

x = a · cos ϕ

^und

y = b · sin ϕ

^als Parametrisierung wählen. Somit folgt

dx = −a · sin ϕ dϕ

^und

dy = b · cos ϕ dϕ,

^{wirsetzen einund erhalten:}

I

dϕ ab · cos ² ϕ + ab · sin ² ϕ

Wirkönnen

ab,

^{da esvon}

ϕ

^{unabhängig ist ausdemIntegral ziehen undden trigono-}

metrischen Pythagorasauf dasIntegral anwenden underhalten:

ab I

dϕ

Nun gilt,wie in(a) gezeigt:

S ~ C

=

− 1 2

I

C

. . .

Also können wirauchschreiben, wobei

H = R _2π

0

^:

S C = ab 2

Z _2π

0

dϕ

Also folgtfür dieFläche derEllipse:

S _C = πab