i θ i θ j θ i i θ i θ ˆ 23 i θ i ˆ i θ ∈ [0 , 1] ˆ i i i b ( v )= av i b 1 2 θ ∼ U [0 , 1] θ ∼ U [0 , 1] i 1 2 θ i θ θ i i kθ k i =1 , 2 F ( v )= v [0 , 1] 2 2

AuktionenundMärkte,WS 09/10

Dr.Frank Rosar

6.April2010

Klausur zur Vorlesung Auktionen und Märkte

Erlaubte Hilfsmittel: Keine

Aufgabe 1 (50 Punkte)

2

^{Bieter nehmen an einer} Erstpreisauktion für ein Objekt teil. Es gelten dieAnnahmen des SIPV-Modells. Die Wertshätzungen der Bieter sindunabhängig und

identish verteilt, gemäÿderVerteilungsfunktion

F (v) = v ²

^{auf demInterval}

[0, 1]

^.

(a) (25)BerehnenSiedassymmetrisheBayes-Nash-GleihgewihtderErstpreisauktion.(Hin-

weis: NehmenSiean, dassdieBietstrategie linearist.)

Wie hoh ist dererwartete Erlösdes Verkäufers?

(b) (15)BetrahtenSienundieSituation,dassnureinKäufervorhandenist,undderVerkäufer

einen optimalen Fixpreissetzt.

Berehnen Sieden optimalen Fixpreis undden erwarteten Erlös desVerkäufers!

() (10) BetrahtenSie nun wieder die Situation, dass zwei Käufer vorhanden sind. Der Ver-

käufermöhte nun eineErstpreisauktion mit Reservationspreisverwenden.

Wie hoh ist derReservationspreis, derdenerwarteten Erlös desVerkäufers maximiert?

(VerwendenSieErgebnisseausderVorlesung!Siemüssenniht dasGleihgewihtderErst-

preisauktion mit Reservationspreis herleiten oder dieFormel für den erwarteten Erlös des

Verkäufers aufstellen!)

Aufgabe 2 (50 Punkte) Es gebe zwei Agenten

i = 1, 2

^{,die jeweils eineEinheit eines Gutes}

besitzen (d.h. es gibt insgesamt zwei Einheiten). Der Nutzen von Bieter

i

^ist

kθ i

^{falls er}

k

Einheiten desGutes besitzt.

θ i

^{ist private}Information von Bieter

i

^.

θ 1

^und

θ 2

^{sindunabhängig}

und identish verteilt mit

θ 1 ∼ U [0, 1]

^und

θ 2 ∼ U [0, 1]

^.

(a) (20)BetrahtensiezunähstfolgendenMehanismus:Beide BietergebenjeweilseinGebot

b i

^{ab. DerBieter mit demhöheren Gebot gewinnt und bekommt das Objekt des anderen}

Bieters. DerGewinnerbezahlt sein eigenesGebot an denVerlierer.

Berehnen Siedassymmetrishe Bayes-Nash-Gleihgewiht diesesMehanismus!

(Hinweis:Nehmen sie an,dassdieBietstrategie linearist

b _i (v i ) = av _i

^.)

Betrahten Sie nun folgenden direkten Mehanismus: Jeder Bieter gibt ein

θ ˆ i ∈ [0, 1]

^{an. Der}

Bieter mitdemhöheren

θ ˆ i

^{gewinnt undbekommt dasObjektdesanderenBieters. FallsBieter}

i

gewinnt, bezahlt er

2

3 θ ˆ i

^{an den anderenBieter.}

(b) (15)IstdieserdirekteMehanismusBayes-Nash-anreizkompatibel?BegründenSieihreAnt-

wort durh Rehnung oder (kurz) mit Hilfe von Aufgabenteil (a) und Resultaten aus der

Vorlesung.

() (15) Stellen Sie die Teilnahmebedingung eines Bieters

i

^{auf, der sein eigenes}

θ i

^bereits

kennt, dasdesanderenBieters(

θ j

^{)abernoh niht.}

Für welhes

θ i

^{istdererwartete} Nutzengewinn beiTeilnahmeamgeringsten?

IstdieTeilnahmebedingung für alle

θ i

^erfüllt?