Ein Pfad (Weg) in einem Graphen ist eine Folge von Knoten v 0 , v 1 , . . . , v k mit {v i , v i+1 } ∈ E, i = 0, . . . , k − 1.

2. Definitionen f¨ ur ungerichtete Graphen

Falls nicht explizit anders gesagt, sind in diesem Abschnitt alle betrachteten Graphen als einfach vorausgesetzt.

2.1 Pfade und Kreise

Definition 253

Ein Pfad (Weg) in einem Graphen ist eine Folge von Knoten v ₀ , v ₁ , . . . , v _k mit {v _i , v _i+1 } ∈ E, i = 0, . . . , k − 1.

Ein Pfad heißt einfach, wenn alle v i paarweise verschieden sind.

Ein Kreis ist ein Pfad, bei dem gilt: v 0 = v _k .

Ein Kreis heißt einfach, wenn die Knoten v ₀ , . . . , v k−1 paarweise verschieden sind.

Diskrete Strukturen 2.1 Pfade und Kreise 423/556

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2.2 Isomorphe Graphen

Definition 254

Zwei Graphen G i = (V i , E i ), i = 1, 2 heißen isomorph, falls es eine Bijektion ϕ : V 1 → V 2 gibt, so dass gilt:

∀v, w ∈ V 1

h

{v, w} ∈ E 1 ⇐⇒

ϕ(v), ϕ(w) ∈ E 2

i .

Beispiel 255

K _2,2 ∼ = C ₄ ∼ = Q ₂ oder T _4,4,4 ∼ = Q ₆ Beispiel 256

Diskrete Strukturen 2.2 Isomorphe Graphen 424/556

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2.3 Adjazenz

Definition 257

Sei G = (V, E), u, v ∈ V und {u, v} ∈ E. Dann heißen u und v adjazent (aka benachbart). u und v sind Endknoten von {u, v}; u und v sind inzident zur Kante {u, v}. Zwei Kanten heißen adjazent, falls sie einen Endknoten gemeinsam haben.

Diskrete Strukturen 2.3 Adjazenz 425/556

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2.4 Nachbarschaft

Definition 258 Sei u ∈ V .

N (u) :=

v ∈ V ; u 6= v, {u, v} ∈ E

heißt die Nachbarschaft von u.

d(u) := deg(u) :=

N (u)

heißt Grad von u.

Falls d(u) = 0, so heißt u isoliert.

Diskrete Strukturen 2.4 Nachbarschaft 426/556

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2.5 Gradfolge

Definition 259

Sei V = {v ₁ , . . . , v n } o.B.d.A. so, dass

d(v ₁ ) ≥ d(v ₂ ) ≥ . . . ≥ d(v _n ).

Dann heißt d(v ₁ ), d(v ₂ ), . . . , d(v _n )

die Gradfolge von G.

Bemerkung:

Isomorphe Graphen haben dieselbe Gradfolge.

Diskrete Strukturen 2.5 Gradfolge 427/556

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Satz 260

Sei G = (V, E). Dann gilt:

X

v∈V

d(v) = 2 · |E|

Beweis:

P d(v) z¨ ahlt Halbkanten.

Korollar 261

In jedem Graphen ist die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad gerade.

Diskrete Strukturen 2.5 Gradfolge 428/556

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2.6 Regul¨ are Graphen

Definition 262

Ein Graph G = (V ; E) heißt k-regul¨ ar genau dann, wenn (∀v ∈ V ) h

d(v) = k i .

Beispiel 263

Q k ist k-regul¨ ar; T m

,...,m

ist 2k-regul¨ ar.

Diskrete Strukturen 2.6 Regul¨are Graphen 429/556

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2.7 Teilgraphen Definition 264

1

G ⁰ = (V ⁰ , E ⁰ ) heißt Teilgraph von G = (V, E), falls V ⁰ ⊆ V ∧ E ⁰ ⊆ E.

2

Ein Graph H = (V , E) heißt Unterteilung von G = (V, E), falls H aus G dadurch entsteht, dass jede Kante {v, w} ∈ E durch einen Pfad v = v ₀ , v ₁ , . . . , v _k = w ersetzt wird. Dabei sind v 1 , . . . , v k−1 jeweils neue Knoten.

Diskrete Strukturen 2.7 Teilgraphen 430/556

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Beispiel 265 (Unterteilung)

Bemerkung: (Satz von Kuratowski) Ein Graph ist genau dann nicht planar, wenn er eine Unterteilung des K ₅ oder des K _3,3 als Teilgraph enth¨ alt.

Diskrete Strukturen 2.7 Teilgraphen 431/556

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2.8 Induzierte Teilgraphen

Definition 266

Ein Graph G ⁰ = (V ⁰ , E ⁰ ) heißt (knoten-)induzierter Teilgraph von G = (V, E), falls G ⁰ Teilgraph von G ist und E ⁰ = E ∩ (V ⁰ × V ⁰ ).

Beispiel 267

G ₁ ist Teilgraph von G, aber nicht knoteninduziert; G ₂ ist der von {1, 2, 4, 5, 7}

induzierte Teilgraph; G ₃ ist nicht Teilgraph von G.

Diskrete Strukturen 2.8 Induzierte Teilgraphen 432/556

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Sei V ⁰ ⊆ V . Dann bezeichnet G \ V ⁰ den durch V \ V ⁰ induzierten Teilgraphen von G.

Beispiel 268

G ₄ = G \ {2, 3, 4, 7}

Diskrete Strukturen 2.8 Induzierte Teilgraphen 433/556

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2.9 Erreichbarkeit

Definition 269

Sei G = (V, E); u, v ∈ V . v heißt von u aus in G erreichbar, falls G einen Pfad mit Endknoten u und v enth¨ alt.

Satz 270

Die Relation R ⊆ V × V mit uRv ⇐⇒

” v ist von u aus in G erreichbar“

ist eine ¨ Aquivalenzrelation.

Beweis:

Es ist leicht zu sehen, dass R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Diskrete Strukturen 2.9 Erreichbarkeit 434/556

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2.10 Zusammenhangskomponenten

Die ¨ Aquivalenzklassen der Erreichbarkeitsrelation heißen Zusammenhangskomponenten von G. G heißt zusammenh¨ angend, falls G aus genau einer

Zusammenhangskomponente besteht.

Diskrete Strukturen 2.10 Zusammenhangskomponenten 435/556

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2.11 B¨ aume

Definition 271

Ein Graph G = (V, E) heißt Baum, falls G zusammenh¨ angend und kreisfrei ist.

Diskrete Strukturen 2.11 B¨aume 436/556

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Satz 272

Die folgenden Aussagen sind ¨ aquivalent:

1

G = (V, E) ist ein nichtleerer Baum.

2

V 6= ∅ und f¨ ur je zwei Knoten u, v ∈ V mit u 6= v gibt es genau einen einfachen Pfad zwischen u und v.

3

G ist zusammenh¨ angend und |V | = |E| + 1.

Diskrete Strukturen 2.11 B¨aume 437/556

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Beweis:

1. ⇒ 2.

Seien u, v ∈ V , u 6= v. Da G zusammenh¨ angend ist, muss mindestens ein Pfad zwischen u und v existieren.

Widerspruchsannahme: Es gibt zwei verschiedene Pfade zwischen u und v.

Dann gibt es einen Kreis in G, was einen Widerspruch zur Annahme darstellt.

Diskrete Strukturen 2.11 B¨aume 438/556

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Beweis (Forts.):

2. ⇒ 3. Beweis durch Induktion:

Dass G zusammenh¨ angend und V nichtleer sein muss, ist klar. F¨ ur |E| = 0 gilt

|V | = 1 (Induktionsanfang).

G muss einen Knoten mit Grad 1 enthalten: W¨ ahle u ∈ V beliebig. W¨ ahle einen Nachbarn u ₁ von u. Falls deg(u ₁ ) > 1, w¨ ahle einen Nachbarn u ₂ 6= u von u ₁ usw.

Da V endlich und G zusammenh¨ angend und kreisfrei ist (sonst g¨ abe es ein Knotenpaar mit zwei verschiedenen einfachen Pfaden dazwischen), kommt man so schließlich zu einem Blatt (Knoten mit Grad 1).

Entfernt man dieses Blatt (sowie die inzidente Kante) und wendet auf den entstehenden Graphen die IV an, erh¨ alt man:

|V | − 1

− 1 = |E| − 1 Damit ist bewiesen, dass |V | = |E| + 1.

Diskrete Strukturen 2.11 B¨aume 439/556

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Beweis (Forts.):

3. ⇒ 1.

Sei nun G zusammenh¨ angend mit |V | = |E| + 1.

Zu zeigen: G ist kreisfrei.

Widerspruchsannahme: G enth¨ alt einen einfachen Kreis C = (V C , E C ).

Da wir G aufbauen k¨ onnen, indem wir die Knoten in V \ V _C mit jeweils einer neuen Kante hinzuf¨ ugen und zum Schluss noch eventuell ¨ ubrig gebliebene Kanten hinzuf¨ ugen, gilt:

|V | = |V _C | + |V \ V C | ≤ |E _C | + |E \ E C | = |E|

Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung |V | = |E| + 1.

Diskrete Strukturen 2.11 B¨aume 440/556

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Korollar 273

Seien T = (V, E) ein Baum mit |V | = n und (d ₁ , d ₂ , . . . , d _n ) die Gradfolge von T , dann gilt:

n

X

i=1

d i = 2 · |E| = 2n − 2

Diskrete Strukturen 2.11 B¨aume 441/556

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2.12 Spannb¨ aume

Definition 274

Ein Teilgraph T = (V ⁰ , E ⁰ ) von G = (V, E) heißt Spannbaum von G, falls T ein Baum und V ⁰ = V ist.

Diskrete Strukturen 2.12 Spannb¨aume 442/556

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Satz 275 (Arthur Cayley, 1889)

Sei t(n) die Anzahl der verschiedenen markierten B¨ aume mit Knotenmenge {1, . . . , n}.

Dann gilt:

t(n) = n ⁿ⁻²

Beispiel 276 n = 2:

n = 3:

Diskrete Strukturen 2.12 Spannb¨aume 443/556

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Beispiel (Forts.) n = 4:

Diskrete Strukturen 2.12 Spannb¨aume 444/556

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