bzw. unit¨arerRaum . • R -bzw. C -VektorraummitSkalarproduktheißt Euklidi-scher h v,αw + βw i = α h v,w i + β h v,w i∀ w ,w ∈ V,α,β ∈ K . •∀ v ∈ V gilt: •h v,v i = h v,v i = ⇒h v,v i∈ R . Eigenschaften: h v,v i≥ 0 ∀ v ∈ V und h v,v i =0 ⇔ v =0 . (S3)(posi

Lineare Algebra und Analytische Geometrie I ♦ Prof. Dr. Peter Benner ♦ WS06/07

Skalarprodukt und Norm

Sei K ∈ {R,C} und V K-Vektorraum.

Skalarprodukt

Abbildung h. , .i : V × V → K, die folgende Eigenschaften hat:

(S1) ∀w ∈ V ist h. , wi : V → K lineare Abbildung, d.h., hαv₁+βv₂, wi = αhv₁, wi+βhv₂, wi ∀v₁, v₂ ∈ V, α, β ∈ K.

(S2) (Symmetrie)

hv, wi = hw, vi ∀v, w ∈ V.

(S3) (positive Definitheit)

hv, vi ≥ 0 ∀v ∈ V und hv, vi = 0 ⇔ v = 0.

Eigenschaften:

• hv, vi = hv, vi =⇒ hv, vi ∈ R.

• ∀v ∈ V gilt:

hv, αw₁+βw₂i = αhv, w₁i+βhv, w₂i ∀w₁, w₂ ∈ V, α, β ∈ K.

• R- bzw. C-Vektorraum mit Skalarprodukt heißt Euklidi- scher bzw. unit¨arer Raum.

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Norm

Abbildung k.k : V → R, so daß ∀v, w ∈ V , λ ∈ K gilt:

(N1) kvk = 0 ⇔ v = 0.

(N2) kλvk = |λ| kvk.

(N3) (Dreiecksungleichung) kv +wk ≤ kvk+ kwk.

K-Vektorraum mit Norm heißt normierter Raum.

Eigenschaften:

(N4) kvk ≥ 0 ∀ v ∈ V . Induzierte Norm:

F¨ur jedes Skalarprodukt definiertkvk = p

hv, vi eine Norm auf V .

Cauchy-Schwarz-Ungleichung:

|hv, wi|² ≤ hv, vi hw, wi bzw. f¨ur induzierte Norm

|hv, wi| ≤ kvk kwk.

Winkel zwischen v, w ∈ V \ {0} (k.k =induzierte Norm):

ϕ(v, w) = arccos hv, wi kvk kwk.