Bilinearform h· , ·i : V × V → R auf einem reellen Vektorraum V mit folgenden Eigenschaften

4.1.3 Skalarprodukt und Norm

Reelles Skalarprodukt

Bilinearform h· , ·i : V × V → R auf einem reellen Vektorraum V mit folgenden Eigenschaften

• Positivit¨at:

h v, v i > 0 f¨ur v 6 = 0

• Symmetrie:

h u, v i = h v, u i

• Linearit¨at:

h λu + %v, w i = λ h u, w i + % h v, w i

Skalarprodukt reeller Vektoren

v

w = v

w

+ · · · + v

w

= | v || w | cos α mit α ∈ [0, π] dem kleineren der beiden Winkel zwischen v und w assoziierte Norm

| v | = q

v

+ · · · + v

Komplexes Skalarprodukt

Abbildung h· , ·i : V × V → C auf einem komplexen Vektroraum V mit folgenden Eigenschaften

• Positivit¨at:

h v, v i > 0 f¨ur v 6 = 0

• Schiefsymmetrie:

h u, v i = h v, u i

• Linearit¨at:

h λu + %v, w i = λ h u, w i + % h v, w i

Skalarprodukt komplexer Vektoren

y

x = x

y ¯

+ · · · + x

y ¯

assoziierte Norm

| z | = p

| z

|

+ · · · + | z

|

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Cauchy-Schwarz-Ungleichung

|h u, v i| ≤ | u || v | , | w | = p h w, w i Gleichheit genau dann wenn u k v

bei reellem Skalarprodukt Definition eines Winkels α ∈ [0, π] via cos α = h u, v i

| u || v | Norm

Abbildung k · k : V → R mit den folgenden Eigenschaften

• Positivit¨at:

k v k > 0 f¨ur v 6 = 0

• Homogenit¨at:

k λv k = | λ |k v k

• Dreiecksungleichung:

k u + v k ≤ k u k + k v k Norm, assoziiert mit einem Skalarprodukt

| u | = p h u, v i

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