§ 1 Hecke-Operatoren auf dem Vektorraum V ( H )

Vortrag zum Seminar zur Höheren Funktionentheorie, 28.05.2008 Mareike Ahl

Dieser Vortrag beschäftigt sich mit Definitionen sowie der Analyse elementarer Ei- genschaften von Hecke-Operatoren. Auf die algebraische Struktur dieser Operatoren wird in den folgenden Vorträgen eingegangen werden.

§ 1 Hecke-Operatoren auf dem Vektorraum V ( _H )

In diesem Abschnitt werden die Hecke-Operatoren als Endomorphismen des noch zu definierenden VektorraumsV(_H) eingeführt. Auf dieser Grundlage erfolgt auch die Analyse der zugehörigen Fourier-Reihen, die Herleitung einer Ableitungsregel sowie die Betrachtung gewisser Spezialfälle.

(1.1) Definition

Es bezeichne V(H) den C-Vektorraum der Funktionen f mit folgenden Eigenschaf- ten:

(MP.1) Die Funktion f ist aufH meromorph.

(MP.2) Die Funktion f ist periodisch mit Periode 1.

(MP.3) Bei∞ hat f höchstens einen Pol.

Nach Lemma XXIX (1.2) aus dem Skript zur Höheren Funktionentheorie (Krieg, 2007) existiert dann ein γ > 0 und ein m0 ∈ _{Z, sodass} f durch eine absolut und kompakt-gleichmäßig konvergente Fourier-Reihe

f(τ) =

∑

m≥m₀

α_f(m)·e^2πimτ für alleτ ∈ _H mit Im(τ) >γdargestellt werden kann.

Hecke-Operatoren § 1 Hecke-Operatoren auf dem Vektorraum V(_H) Eine wichtige Vorarbeit für die Definition der Hecke-Operatoren leistet folgende (1.2) Definition

Seienaund dpositive ganze Zahlen, f ∈ V(_H) undτ ∈H. Dann definiere:

(T_a,df)(_τ) _:=

∑

b (modd)

f((aτ+b)/d)_.

Die Summation erfolgt über ein vollständiges Restesystem (modd).

Da sich zwei solcher Restesysteme nur durch die Reihenfolge der Elemente bezie- hungsweise duch ganzzahlige Vielfache von d unterscheiden und da f periodisch mit Periode 1 ist, ist die Summe insbesondere unabhängig von der Wahl des Reste- systems: Es gilt

f((aτ+ (b+kd))/d) = f((aτ+b)/d+k) = f((aτ+b)/d)

fürk ∈ Z. Der Einfachheit halber kann daher über die Zahlen von 0 bis d−1 sum- miert werden.

Dabei istT_a,df eine meromorphe Funktion auf H, da schon f aufH meromorph ist.

Zudem gilt für alleα, β∈ _Cund für alle f,g ∈ V(_H) T_a,d(αf +βg)(τ) =

∑

b (modd)

(αf +βg)((aτ+b)/d)

=

∑

b (_modd)

(αf((aτ+b)/d) +βg((aτ+b)/d))

=

∑

b (_modd)

αf((aτ+b)/d) +

∑

b (_modd))

βg((aτ+b)/d)

=α

∑

b (modd)

f((aτ+b)/d) +β

∑

b (modd)

g((aτ+b)/d)

=αT_a,d(f)(τ) +βT_a,d(g)(τ). Das heißt, T_a,d ist linear.

(1.3) Bemerkung

Die im Vortrag „Modulformen zu Kongruenzgruppen II“ für automorphe Funktio- nen definierte Funktion fp ist ein Spezialfall von T_a,df und entspricht ¹_pT_1,d(f). Die bisherigen Informationen führen zu einer ersten

(1.4) Proposition

Für alle f ∈ V(_H) gilt T_a,df ∈ V(_H) und die Fourier-Reihe von T_a,df ist gegeben durch

(T_a,df)(_τ) = d·

∑

m≥m₀/d

αf(md)·e^2πimaτ,

für alleτ ∈ _{H. Das}m0 ist dabei aus der Fourier-Reihe von f entnommen.

Beweis

DassT_a,df aufH meromorph ist, wurde bereits erwähnt.

Sei im Folgendenτ aus H. Mit der Fourier-Reihe von f hat man (T_a,df)(_τ) =T_a,d

τ 7→

∑

m≥m₀

αf(m)·e^2πimτ

(_τ)

=

∑

b (modd)

∑

m≥m0

αf(m)·e^2πimτ

=

∑

m≥m₀

α_f(m)

∑

b (modd)

e^{2πim((aτ+b)/d)}

=

∑

m≥m₀

α_f(m)·e^2πimaτ/d

∑

b (modd)

e^2πimb/d.

Die zweite Summe betrachtet man nun zunächst für den Fall, dassmdurchdteilbar ist. Dann hat man

d−1 b

∑

e^2πimb/d =

d−1 b

∑

1=d.

Betrachtet man den Fall, dass m nicht durch d teilbar ist, so erhält man mit der geometrischen Summenformel

d−1 b

∑

e^2πim/db

= (e^2πimb/d)^d−1 e^2πimb/d−1

= (e^2πimb)−1 e^2πimb/d−1 =0.

Insgesamt folgt daraus also für die zweite Summe:

d−1 b

∑

(e^2πim/d)^b =

(d , falls d|m, 0 , sonst.

Hecke-Operatoren § 1 Hecke-Operatoren auf dem Vektorraum V(_H) Nun betrachtet man in der Ausgangsformel nur noch diejenigen m, die durch d teilbar sind, ersetzt alsom durchmd, und erhält

(Ta,df)(τ) = d·

∑

m≥m₀/d

αf(md)·_e^2πimaτ_, was genau die Behauptung für die Fourier-Reihe war.

Da alsoT_a,df auf diese Art darstellbar ist, bekommt man auch (MP.2) und (MP.3).

Da nun die Vorarbeit geleistet ist, kann eine Definition der Hecke-Operatoren erfol- gen.

(1.5) Definition (Hecke-Operator)

Für jedesn∈ _Nund k∈ _Zdefiniere T_n^(k) durch Tn^(k)f :=n^k−1·

∑

ad=n, d>0

d^−k·T_a,df.

Das heißt für alleτ ∈ _H gilt T_n^(k)f

(_τ) = n^k−1·

∑

ad=n, d>0

d^−k

∑

b(mod d)

f((aτ+b)/d).

Ein sehr einfacher Spezialfall ergibt sich hierbei, wenn mann = p, für eine Primzahl p, annimmt. Man erhält dann für alleτ ∈ _H

Tp^(k)f

(τ) = p^k−1

∑

ad=p,d>0

d^−k

∑

b (modd)

f((aτ+b)/d)

= p^k−1 p^−k

∑

b (mod p)

f((_τ+b)/p) +1^−kf(pτ)

= p^k−1f(pτ) +p^k−1p^−k

∑

b (mod p)

f((_τ+b)/p)

= p^k−1f(pτ) +p⁻¹

∑

b (mod p)

f((_τ+b)/p).

Man kann zudem eine Regel zur Ableitung der Hecke-Operatoren herleiten. Sei dazuτ ∈ _H

Tn^(k)f0

(τ) =n^k−1

∑

ad=n, d>0

d^−k

∑

b(mod d)

f⁰((aτ+b)/d) ^a d

a=ⁿ_d

= n^k−1

∑

ad=n,d>0

n

d d^−k−1

∑

b(mod d)

f⁰((aτ+b)/d)

=n^k

∑

ad=n, d>0

d^−(k+2)

∑

b(mod d)

f⁰((aτ+b)/d).

Daraus folgt n

T_n^(k)f0

(_τ) =n^k+1

∑

ad=n, d>0

d^−(k+2)

∑

b(mod d)

f⁰((aτ+b)/d)

=Tn^(k+2)f⁰ (τ).

Nun kann man folgern, dass, da Ta,d linear ist und Ta,df ∈ V(_H) für alle f ∈ V(_H) gilt, alle Tn^(k) Endomorphismen des Vektorraums V(_H) sind. Zudem lässt sich fol- gender Schluss ziehen

(1.6) Lemma

Die Fourier-Koeffizienten vonT_n^(k)f sind gegeben durch

α_T(k)

n f(m) =

∑

d|(m,n)

d^k−1·_αf(mn/d²) mit m≥











0 falls m₀ =0, 1 falls m₀ >0, nm₀ falls m₀ <_0, und für alle übrigenmgilt α_T(k)

n f(m) = 0. Die Summation erfolgt über alle positiven Teiler von(m,n) = ggT(m,n). Insbesondere sind die Fourier-Koeffizienten α_T(k)

n f(0) undα

Tn^(k)f(1) explizit gegeben durch α_T(k)

n f(0) =σ_k−1(n)·α_f(0) und α_T(k)

n f(1) = α_f(n).

Hecke-Operatoren § 1 Hecke-Operatoren auf dem Vektorraum V(_H) Beweis

Seiτ ∈ H. Dann gilt

Tn^(k)f

(τ) =n^k−1

∑

ad=_n

d^−k(T_a,df) (τ)

=n^k−1

∑

ad=n

d·d^−k

∑

m≥m₀/d

αf(md)e^2πimaτ

=n^k−1

∑

ad=n

d^1−k

∑

m≥m₀/d

αf(md)e^2πimaτ

=

∑

ad=n

n^k−1 d^k−1

∑

m≥m₀a/n

α_f(mn/a)e^2πimaτ

=

∑

ad=n

a^k−1

∑

m≥m₀a/n

αf(mn/a)e^2πimaτ.

Da die Summen nun nicht mehr von d abhängen, setzt man der Übersichtlichkeit halber ma= r. Man summiert dann also über alle a und r die a >0, sowie a|n und a|r erfüllen. Es gilt m ≥ m0a/n, was äquivalent ist zu r ≥ a²m0/n. Dann liest sich T_n^(k)f

(_τ) _als

Tn^(k)f

(τ) =

∑

r,a

a^k−1·α_f

nr/a²

·e^2πirτ,

wobei a die positiven Teiler von (n,r) durchläuft, was die gewünschten Fourier- Koeffizienten liefert. Zudem gilt

r≥ ^a

2m0

n ≥











0 , falls m0 =0,

m₀

n , falls m0 >0, nm0 , falls m0 <0.

Die letzte Ungleichung ergibt sich ausa ≤n, daa ein positiver Teiler vonn ist, was äquivalent ist zu a² ≤ n². Wenn man nun beide Seiten mit m0 < 0 multipliziert, so erhält man a²m₀≥n²m₀ und damit ^a2_n^m0 ≥nm₀.

Fürα_T(k)

n f(0)und α_T(k)

n f(1)gilt dann αT_n^(k)f(0) =

∑

d|(0,n)

d^k−1α_f(0n/d²) =

∑

d|n

d^k−1α_f(0) =σ_k−1(n)α_f(0), fallsm0 <0 gilt und

αTn^(k)f(0) = 0=σ_k−1(n)α_f(0) fallsm0 >0 gilt, sowie

α_T(k)

n f(1) =

∑

d|(1,n)

d^k−1αf(1n/d²) = 1^k−1αf(n/1²) = αf(n).

Betrachtet man nun wieder den Fall, dassneine Primzahl ist, erhält man folgendes (1.7) Korollar

Sei peine Primzahl. Dann gilt

α_T(k)

p f(m) = (

α_f(mp), falls p-m, α_f(mp) +p^k−1·α_f(m/p), falls p|m.

für allem ≥m0

Beweis

Dies ergibt sich schnell, wenn man die beiden Fälle durchrechnet.

1. Fall: p-m.

Es gilt

α_T(k)

p f(m) =

∑

d|(m,p)

d^k−1α_f(mp/d²)

=

∑

d|1

d^k−1α_f(mp/d²) = α_f(mp). 2. Fall: p|m.

Es gilt

α_T(k)

p f(m) =

∑

d|(m,p)

d^k−1αf(mp/d²)

=

∑

d|p

d^k−1αf(mp/d²) = αf(mp) +p^k−1·αf(m/p).

Hecke-Operatoren § 2 Transformationenn-ter Ordnung

§ 2 Transformationen n-ter Ordnung

In diesem Abschnitt wird die Vorarbeit dafür geleistet, die Hecke-Operatoren für Modulformen definieren zu können, da die Definition der Hecke-Operatoren ur- sprünglich auf den ganzzahligen (2×2)-Matrizen der Determinanten basiert.

(2.1) Definition (Transformationenn-ter Ordnung)

Die Transformationen n-ter Ordnung sind für jedes n ∈ _N gegeben durch die Ele- mente von

Γn :={M ∈Mat(2,Z); detM=n} (2.2) Bemerkung

Offensichtlich stimmtΓ1mit Γ, der Modulgruppe, überein und es gilt, dassΓ aufΓn

durch Rechts- und Linksmultiplikation operiert:

Γ Γn =_Γn =_{Γn Γ}

(Multiplikationssatz für Determinanten).

(2.3) Definition (Rechtsvertretersystem)

Eine TeilmengeV ⊂_Γn von heißt Rechtsvertretersystem vonΓn modulo Γ, wenn gilt

(RV.1) Für jedes Maus Γn existiert ein Laus Γ, sodass LM inV liegt.

(RV.2) Sind M₁, M₂aus V mit M₁= LM₂ für ein Laus Γ, dann muss L= Egelten.

(Die Definition eines Linksvertretersystems vonΓn modulo Γgeschieht analog.) Diese beiden Aussagen sind äquivalent zu

(RV) Es giltΓn =^S_{M∈V Γ} M und die Vereinigung ist disjunkt.

Die MatrizenM1und M2heißen äquivalent (M1∼ M2), wenn ein LinΓexistiert mit M₁ = LM2. Das heißt, dass ein Rechtsvertretersystem modulo Γ nur aus inäquiva- lenten Matrizen besteht. Zudem ist zu erwähnen, dass Rechtsvertretersysteme nicht eindeutig sind, da sich ihre Elemente durch linksseitige Faktoren aus Γ unterschei- den können. Sollte es auf die Wahl des Vertretersystems nicht ankommen, sei dieses mitV =_Γ : Γn bezeichnet. Es existiert allerdings ein Standardvertretersystem.

(2.4) Satz Die Menge

M= ₀^{a b}_d ∈ Mat(2,Z); ad =n, d >0, b (mod d)

ist ein Rechtsvertretersystem vonΓn modulo Γ.

Beweis

Prüfe Bedingung (RV.1):

Sei M = ^{a b}_{c d} ∈ _Γn. Wähle teilerfremde γ, δ ∈ _Z mitγa+δc = 0. Dazu setzt man zuerst γ = c und δ = −a und spaltet gegebenenfalls gemeinsame Teiler ab. Dann existieren, da γ und δ teilerfremd sind,α und β aus Z mit αδ−βγ = 1. Setze nun L = ^{α β}

γ δ

. Dann gilt detL=1 und LM =

α β γ δ

a b c d

=

αa+βc αb+βd γa+δc γb+δd

=

a⁰ b⁰ 0 d⁰

Da detL = 1 und det(LM) = det L·det M = 1·n = n gilt, folgt a⁰d⁰ = n. Ohne Einschränkung sei im Folgendend⁰ >0 angenommen (sonst ersetze Ldurch−L).

Da noch nicht sicher ist, dass b⁰ aus einem vollständigen Restesystem (mod d⁰) stammt, betrachtet man zusätzlich

T^mLM =

1 m 0 1

a⁰ b⁰ 0 d⁰

=

a⁰ b⁰+md 0 d⁰

.

Daher kann man b⁰ modulo d⁰ reduzieren, sodass T^mLM in dem Standardvertreter- system enthalten ist.

Prüfe Bedingung (RV.2) : Seien M = ^{a b}_0d, M⁰ = ^a₀^{0 b}_d⁰0

in der zu untersuchenden Menge enthalten und sei L = ^{α β}₀

δ

aus Γ mit M= LM⁰. Es gilt also a b

0 d

=

α β γ δ

a⁰ b⁰ 0 d⁰

=

αa⁰ αb⁰+βd⁰ γa⁰ γb⁰+δd⁰

.

Daraus kann man folgern, dass γa⁰ = 0 gilt. Da zusätzlich die Bedinung d⁰a⁰ = n erfüllt sein muss, folgtγ =0.

Da L so gewählt war, dass αδ−βγ = 1 erfüllt ist, folgt αδ = 1 und, weil nach Voraussetzungδd⁰=d >0 gilt, folgt auchα =_δ =1.

Also gilta =a⁰,d=d⁰,b =b⁰+βd. Da aberbundb⁰beide aus einem Vertretersystem (modd) stammen, mussb =b⁰gelten, also istβ=0 und man erhältL= ^{1 0}_{0 1} =E.

Hecke-Operatoren § 2 Transformationenn-ter Ordnung

Nun kann man folgendes Korollar formulieren (2.5) Korollar

Die Anzahl der Elemente eines jeden Rechtsvertretersystems von Γn modulo Γ ist gegeben durch

σ₁(n) =

∑

d|n

d.

Beweis

Alle Rechtsvertretersysteme haben gleich viele Elemente, da sich zwei verschiedene Rechtsvertretersysteme nur um jeweils linksseitige Faktoren aus Γ unterscheiden.

Berechne also die Anzahl der Elemente des Standardvertretersystems:

∑

∑

b (modd)

1

=

∑

d|n

d=σ₁(n).

(2.6) Bemerkung

(i) DaΓ von links aufΓn operiert, ist der Quotientenraum Γ\_Γn :={_Γ·M;M ∈ _Γn}, Γ·M={LM;L ∈ _Γ}, mit der kanonischen Abbildung

π : Γn →_Γ\_Γn, π(M) ={LM;L ∈ _Γ} definiert. Damit istπ|V : V →_Γ\_Γn ist eine Bijektion.

(ii) IstV ein Rechtsvertretersystem von Γn modulo Γ, dann sind V^t =M^t;M ∈ V und V^ad =ⁿM^ad;M∈ V^o,

mit M^t = M transponiert und M^ad =M adjungiert, Linksvertretersysteme von Γn modulo Γund es gilt |V | =|V^t|=|V^ad|_.

§ 3 Hecke-Operatoren für Modulformen

In diesem Abschnitt werden die Hecke-Operatoren für Modulformen vom Gewicht kdefiniert. Dazu muss zuerst gezeigt werden, dass Modulformen vom Gewichtkim VektorraumV(_H)enthalten sind sowie ein Strichoperator für Matrizen aus GL(2,R) eingeführt werden. Abschließend wird geschlossen, dass Hecke-Operatoren Spitzen- formen wieder auf Spitzenformen abbilden.

(3.1) Definition

FürM ∈GL(2,R)mit detM >0 und für Funktionen f, die aufHmeromorph sind, definiert durch

(f|M)(τ) = (f|_kM)(τ):= (cτ+d)^−kf(Mτ)

für alleτ ∈ _H.

Es gilt wieder

(αf +βg)|M(τ) = (cτ+d)^−k(αf +βg)(Mτ)

= (cτ+d)^−k(αf(Mτ) +βg(Mτ))

= (_αf|M) (_τ) + (βg|M) (_τ) für alle τ ∈ _H und alle α,β ∈ C, sowie für alle M = ^{α β}

γ δ

und N = ^{a b}_{c d},mit N,M∈ GL(2,R) mit detM>0 und detN>0

(f|N)|M(τ) = (γτ+δ)^−k(f|N)(Mτ)

= (γτ+δ)^−k(cMτ+d)^−kf(N Mτ)

= (γτ+δ)^−k

cατ+_β γτ+δ +d

−k

f(N Mτ)

= ((cα+dγ)τ+ (cβ+dδ))^−kf(N Mτ) = f|N M(τ) .

Da Modulformen vom Gewicht k meromorph auf H und periodisch mit Periode 1 sind und bei ∞ höchstens einen Pol haben, sind alle Modulformen vom Gewicht k auch in V(_H) enthalten. Es gilt also Vk ⊂ V(_H). Man kann also T_a,d auch auf Funktionen ausVk anwenden.

Hecke-Operatoren § 3 Hecke-Operatoren für Modulformen

Eine explizite Beschreibung der Hecke-Operatoren für Modulformen erfolgt dann folgendermaßen:

(3.2) Satz

Ist Γ: Γn ein Rechtsvertretersystem vonΓn modulo Γ und f ∈_Vk, dann gilt Tnf :=T_n^(k)f =n^k−1

∑

M∈Γ:Γn

f|_kM

undTnf ist wieder ein Element von Vk.

Beweis

Bezeichne n^k−1∑M∈_Γ:Γn f|_kM mit f^∗. Die Elemente zweier Rechtsvertretersysteme vonΓn modulo Γunterscheiden sich bis auf Reihenfolge jeweils nur um linksseitige Faktoren aus Γ und es gilt, da f ein Element ausVk ist, dass f|_L = f für beliebige L ∈ _Γ erfüllt sein muss. Das bedeutet, dass f^∗ nicht abhängig von der Wahl des Vertretersystems ist. Daher ist f^∗ wohldefiniert und man kann für diesen Beweis das Standardvertretersystem verwenden. Es ergibt sich dabei

f^∗(τ) =n^k−1

∑

M∈_Γ:Γn

d^−kf((aτ+b)/d)

=n^k−1

∑

ad=n

d^−k

∑

b (modd)

f((aτ+b)/d) = T_n^(k)f (_τ)_. Also giltTnf ∈ V(_H).

Sei nun Γ : Γn ein Rechtsvertretersystem von Γn modulo Γ und N ∈ _Γ fest gewählt.

Dann ist auch {MN;M∈ _Γ: Γn} =: V ein Rechtsvertretersystem von Γn modulo Γ.

Die Bedinung (RV1) ist erfüllt, da für A ∈ _Γn auch AN⁻¹ ∈ _Γn ist, somit also ein L ∈ _Γexistiert, sodass LAN⁻¹∈ _{Γ : Γn} erfüllt ist. Dann gilt auch LA∈ V_.

Die Bedingung (RV2) ist erfüllt, da zwei ElementeM1 und M2 aus V auch geschrie- ben werden können als M₁ = MN und M₂ =M⁰N mit Mund M⁰ ausΓ : Γn, sodass sich M1 = LM2 für ein L aus Γ darstellen lässt als MN = LM⁰N was äquivalent ist zu M= LM⁰, woraus L =Efolgt.

Daraus ergibt sich

Tnf =n^k−1

∑

M∈_Γ:Γn

f|_k(MN) = n^k−1

∑

M∈_Γ:Γn

(f|_kM)|_kN

f∈V_k

= (Tnf)|_kN,

also ist Tnf modular vom Gewichtk.

Mit (1.6) erhält man folgendes

(3.3) Lemma

Alle Hecke-OperatorenT_n^(k) :Mk → _Mk n≥1 sind Endomorphismen, die Spitzen-

formen auf Spitzenformen abbilden.

Beweis

Durch Tn^(k) wird eine ganze Modulform f vom Gewicht k wieder auf eine ganze Modulform vom Gewicht k abgebildet, da für m₀ = 0 in der Fourier-Reihe von f auchm ≥0 in der Fourier-Reihe von Tn^(k)f gilt.

Zu zeigen ist also nur noch, dass αTnf(0) = 0 gilt, wenn schon αf(0) = 0 erfüllt ist. Da man aus Lemma (1.6) weiß, dass sichα_T(k)

n f(0) alsα_T(k)

n f(0) = σ_k−1(n)·α_f(0)

berechnen lässt, folgt die Behauptung sofort.