Bilinearform h· , ·i : V × V → R auf einem reellen Vektorraum V mit folgenden Eigenschaften

(1)

5.3 Skalarprodukt und Norm

Reelles Skalarprodukt

Bilinearform h· , ·i : V × V → R auf einem reellen Vektorraum V mit folgenden Eigenschaften

• Positivit¨at:

h v, v i > 0 f¨ur v 6 = 0

• Symmetrie:

h u, v i = h v, u i

• Linearit¨at:

h λu + %v, w i = λ h u, w i + % h v, w i

Komplexes Skalarprodukt

Abbildung h· , ·i : V × V → C auf einem komplexen Vektroraum V mit folgenden Eigenschaften

• Positivit¨at:

h v, v i > 0 f¨ur v 6 = 0

• Schiefsymmetrie:

h u, v i = h v, u i

• Linearit¨at:

h λu + %v, w i = λ h u, w i + % h v, w i

Euklidisches Skalarprodukt

y

^∗

x = x

1

y ¯

1

+ · · · + x

n

y ¯

n

assoziierte Norm

| z | = p

| z

1

|

²

+ · · · + | z

n

|

²

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

|h u, v i| ≤ | u || v | , | w | = p h w, w i Gleichheit genau dann wenn u k v

bei reellem Skalarprodukt Definition eines Winkels α ∈ [0, π] via cos α = h u, v i

| u || v |

73

(2)

Norm

Abbildung k · k : V → R mit den folgenden Eigenschaften

• Positivit¨at:

k v k > 0 f¨ur v 6 = 0

• Homogenit¨at:

k λv k = | λ |k v k

• Dreiecksungleichung:

k u + v k ≤ k u k + k v k Norm, assoziiert mit einem Skalarprodukt

| u | = p h u, v i

Orthogonale Basis

h u

i

, u

j

i = 0, i 6 = j orthonormal, falls | u

k

| = 1

eindeutige Darstellung

v = X

n

k=1

c

k

u

k

, c

k

= h v, u

k

i

| u

k

|

²

Norm: | v |

²

= | c

1

|

²

| u

1

|

²

+ · · · + | c

n

|

²

| u

n

|

²

Orthogonale Projektion

Abbildung auf einen Unterraum U eines Vektorraums V

v 7→ P

U

(v) ∈ U ⊂ V, h v − P

U

(v), u i = 0 ∀ u ∈ U u

1

, . . . , u

k

orthogonale Basis von U = ⇒

P

U

(v) = X

j

k=1

h v, u

k

i h u

k

, u

k

i u

k

Verfahren von Gram-Schmidt

induktive Orthogonalisierung einer Basis b

1

, . . . , b

n

u

_j

= b

_j

− X

k<j

h b

_j

, u

_k

i

h u

k

, u

k

i u

_k

, j = 1, . . . , n

|h u

k

, u

k

i| = 1 bei Normierung, u

j

← u

j

/ | u

j

| , nach jedem Schritt

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