(1)u>v>0(2)u−v ungerade(3)ggTu,v()=1

Pythagoreische Dreiecke

Anregungen: M. B., B. und A. R., S.

1 Worum geht es?

Es wird versucht, einige Eigenschaften der Pythagoreischen Zahlentripel und der pytha- goreischen Dreiecke zu visualisieren.

2 Formeln

2.1 Generierung der pythagoreischen Zahlentripel

In der Regel werden die pythagoreischen Zahlentripel wie folgt generiert:

Wir wählen zwei natürliche Zahlen (Parameter) u und v mit folgenden Bedingungen:

(1) u>v>0 (2) u−v ungerade (3) ggT

( )

u,v ⁼¹ Dann setzen wir:

a=u² −v² b=2uv c=u² +v²

a, b und c bilden ein primitives (teilerfremdes) pythagoreisches Zahlentripel. Auf diese Weise ergeben sich alle primitiven pythagoreischen Zahlentripel ([Dickson 1920] und [Dickson 1966]).

Die Bedingung (1) sichert, dass a, b, c positiv sind. Wenn wir auf die Bedingung (1) verzichten, müssen wir mit den Beträgen von a, b, c arbeiten, um ein Dreieck zeichnen zu können. Wir werden das im folgenden gelegentlich tun.

Wenn die Bedingung (2) verletzt ist, haben a, b, c den gemeinsamen Teiler 2.

Wenn die Bedingung (3) verletzt ist, haben a, b, c den gemeinsamen Teiler ggT

( )

u,v ^2. Wenn wir also zulassen, dass a, b, c gemeinsame Teiler haben, können wir auf die Ein- schränkungen (2) und (3) verzichten. Wir werden das im folgenden gelegentlich tun.

2.2 Umkehrung

Umgekehrt gelten die Formeln:

u= ¹₂

(

c+a

)

v= ¹₂

(

c−a

)

2.3 In- und Ankreisradien Inkreisradius:

ρ=v u

(

−v

)

Ankreisradien:

ρ_a =u u

(

−v

)

ρ_b =v u

(

+v

)

ρ_c =u u

(

+v

)

Diese Radien sind ebenfalls natürlich Zahlen (vgl. [Baptist 1982]). Bei den Formeln für die Radien ist nicht recht einsichtig, warum der Inkreisradius eine Sonderrolle spielen soll.

Wenn wir auf die Bedingung (1)u>v>0 verzichten, müssen wir mit den Beträgen arbeiten.

3 Darstellung im Koordinatensystem 3.1 Das Dreieck

In einem kartesischen Koordinatensystem wählen wir die Eckpunkte A, B, C der pytha- goreischen Dreiecke wie folgt:

A a,b

( )

^{=A u}

(

^{2 −v2, 2uv}

)

B

( )

0, 0

C a, 0

( )

^{=C u}

(

^{2 −v2, 0}

)

Die Koordinaten sind ganzzahlig. Wenn wir auf die Bedingung (1)u>v>0 verzichten, können sie negativ sein.

Für den Mittelpunkt M des Umkreises (Thaleskreis) ergibt sich:

M

( )

^a₂,^b₂ ^=M

(

^u2−v2 ²,uv

)

3.2 Zentren von In- und Ankreisen Zentrum des Inkreises:

N u u

( (

−v

)

^{,v u}

(

^−v

) )

Zentren der Ankreise:

N_a

(

v u

(

−v

)

^{,−u u}

(

^−v

) )

N_b

(

u u

(

+v

)

^{,v u}

(

^+v

) )

N_c

(

−v u

(

+v

)

^{,u u}

(

^+v

) )

Bemerkung: Der Schwerpunkt dieser vier Punkte ist der Mittelpunkt M des Umkreises.

Dies gilt allerdings in einem beliebigen Dreieck.

Bei den Formeln für die Zentren ist nicht recht einsichtig, warum der Inkreis eine Son- derrolle spielen soll.

3.3 Der W-Punkt

Wir definieren den Punkt W u,v

( )

. Er illustriert die beiden Parameter.

3.4 Beispiel

Die Abbildung 1 zeigt den Fall für W u,v

( )

^=W

( )

^4,1 . Dieser Punkt ist grün einge- zeichnet. Es ist weiter:

a=u² −v² =15 b=2uv=8 c=u² +v² =17 Für den Inkreisradius erhalten wir:

ρ=v u

(

−v

)

⁼³

Ankreisradien:

ρ_a =u u

(

−v

)

⁼¹²

ρ_b =v u

(

+v

)

⁼⁵

ρ_c =u u

(

+v

)

⁼²⁰

Zentrum des Inkreises:

N u u

( (

−v

)

^{,v u}

(

^−v

) )

⁼

(

^{12, 3}

)

Zentren der Ankreise:

N_a

(

v u

(

−v

)

^{,−u u}

(

^−v

) )

⁼

⁽

^3,−12

⁾

N_b

(

u u

(

+v

)

^{,v u}

(

^+v

) )

⁼

⁽

^{20, 5}

⁾

N_c

(

−v u

(

+v

)

^{,u u}

(

^+v

) )

⁼

⁽

^{−5, 20}

⁾

Abb. 1: u = 4, v = 1 3.5 In der Gaußschen Zahlenebene

Mit w=u+iv erhalten wir zunächst den Punkt W. Wegen w² =

(

u+iv

)

^{2 =u2−v2 +2iuv}

ergibt sich durch w² der Punkt A. Aus den Regeln des Rechnens mit den komplexen Zahlen folgt, dass der Punkt W auf der Winkelhalbierenden des Winkels β liegt.

4 Ausdehnung des Parameterbereiches

Wir verzichten nun ausdrücklich auf die einschränkende Bedingung (1)u>v>0. Es soll nun also

( )

u,v ^∈!2.

Wir illustrieren die Situation an den acht Beispielen (Abb. 2):

( )

u,v ^∈

{ ( )

^{4,1 , 1, 4}

( )

^,

(

^{−1, 4}

)

^,

(

^−4,1

)

^,

(

^−4,−1

)

^,

(

^−1,−4

)

^{, 1,}

(

⁻⁴

)

^{, 4,−1}

( ) }

Der grüne Punkt W u,

( )

v gibt jeweils die aktuellen Parameter an.

Abb. 2: Permutation der Parameter und Vorzeichen Wir sehen, dass die Rollen der In- und Ankreise permutiert werden.

5 Visualisierung einzelner Punkte 5.1 Die Punkte W

Wir zeichnen die Punkte W u,v

( )

mit güner Quadratsignatur der Seitenlänge 1.

Die Bedingung (1)u>v>0 führt zu einem etwas langweiligen Bild. Für die Abbildung 3 ist u≤20.

Abb. 3: u > v > 0

Mit den beiden Bedingungen (1)u>v>0 und (2)u−v ungerade ergibt sich ein Karo- Muster (Abb. 4).

Abb. 4: Karo-Muster

Mit den beiden Bedingungen (1)u>v>0 und (3) ggT

( )

u,v ⁼1 wird es spannender (Abb. 5).

Abb. 5: u und v teilerfremd

Die Prinzahlen führen zu einer durchgehenden horizontalen oder vertikalen Linie. Deut- lich sind auch die Primzahlzwillinge (zum Beispiel 11 / 13 oder 17 / 19) zu erkennen.

Das Muster wird noch interessanter, wenn wir auf die Einschränkung (1)u>v>0 ver- zichten. Für die Abbildung 6 ist

( )

u,v ^{∈ −30, 30}

[ ]

^{× −30, 30}

[ ]

^.

Abb. 6: u und v teilerfremd

Jede horizontale und jede vertikale Linie hat eine Translationssymmetrie. Als Beispiel etwa die horizontalen Linien für v=5, 10, 15 (Abb. 7).

Abb. 7: v = 5, 10, 15

Und nun alle drei Bedingungen, also (1)u>v>0, (2)u−v ungerade, (3) ggT

( )

u,v ^{=1 .} Wir erhalten so die Punkte W (Abb. 8).

Abb. 8: Die Punkte W

Die Primzahlen und insbesondere die Primzahlzwillingen sind nun als schräge Linien (mit den Steigungen ±1) erkennbar.

Im der Abbildung 8 ist die Bedingung (1)u>v>0 weggelassen. Es ist

( )

u,v ^{∈ −30, 30}

[ ]

^{× −30, 30}

[ ]

^.

Abb. 9: Bedingungen (2) und (3)

5.2 Die Punkte A

Der Punkt A ist gegeben durch A a,b

( )

^{=A u}

(

^{2 −v2, 2uv}

)

. Wir stellen die Punkte mit blauer Kreissignatur dar.

Zunächst verwenden wir nur die Bedingung (1)u>v>0. Das ergibt ein „gebogenes“

Raster. In der Abbildung 10 ist u≤20.

Abb. 10: Gebogenes Raster

Um die Struktur des Rasters zu erkennen, lassen wir die Bedingung (1)u>v>0 auch noch weg. In der Abbildung 11 ist

( )

u,v ^{∈ −20, 20}

[ ]

^{× −20, 20}

[ ]

. Die Punkte sind die Schnittpunkte von konfokalen liegenden Parabeln. Darin zeigt sich, dass hinter unseren Formeln die komplexe Quadratfunktion steckt. Die komplexe Quadratfunktion führt zu einer doppelten Überlagerung. Jede Punkt ist doppelt gezeichnet.

Abb. 11: Liegende Parabeln

Nun bringen wir die Bedingung (2)u−v ungerade ins Spiel (Abb. 12). Wir erhalten wieder Parabeln, diese sind nun wie in der Schule „stehend“. Warum ist das so?

Abb. 12: Stehende Parabeln

Die Bedingung (3) ggT

( )

u,v ⁼¹ bringt zusätzlich eine Ausdünnung (Abb. 13).

Abb. 13: Bedingungen (2) und (3)

5.3 Die Inkreismittelpunkte N

Für die Inkreismittelpunkt N gilt N u u

( (

−v

)

^{,v u}

(

^−v

) )

. Wir arbeiten zunächst ohne Bedingungen. In der Abbildung 14 ist

( )

u,v ^{∈ −20, 20}

[ ]

^{× −20, 20}

[ ]

^.

Abb. 14: Na schön

Die Bedingung (2)u−v ungerade dünnt aus (Abb. 15).

Abb. 15: Bedingung (2)

Die Bedingung (3) ggT

( )

u,v ⁼¹ bringt eine zusätzliche Ausdünnung (Abb. 16).

Abb. 16: Bedingungen (2) und (3)

5.4 Ankreismittelpunkte

Für die Ankreismittelpunkte gelten die Formeln:

N_a

(

v u

(

−v

)

^{,−u u}

(

^−v

) )

N_b

(

u u

(

+v

)

^{,v u}

(

^+v

) )

N_c

(

−v u

(

+v

)

^{,u u}

(

^+v

) )

In den folgenden Abbildungen sind die Punkte N_a cyan, N_b magenta und N_c orange gezeichnet. Zusätzlich sind die Inkreismittelpunkte (rot) eingezeichnet.

Wenn wir ohne weitere Bedingungen arbeiten, erhalten wir für

( )

u,v ^{∈ −20, 20}

[ ]

^{× −20, 20}

[ ]

die Abbildung 17. Auf den ersten Blick verblüffend ist die vierteilige Drehsymmetrie.

Abb. 17: Ohne Einschränkung

In der Abbildung 18 sind zusätzlich noch die Punkte A eingezeichnet.

Abb. 18: Zusätzlich mit Punkten A

In der Abbildung 19 sind die beiden Bedingungen (2)u−v ungerade (3) ggT

( )

u,v ⁼¹ eingearbeitet.

Abb. 19: In- und Ankreismittelpunkte sowie Punkte A Literatur

[Baptist 1982] Baptist, P.: Inkreisradius und pythagoreische Zahlentripel. Praxis der Mathematik 24, 1982, S. 161 - 164.

[Dickson 1920] Dickson, Leonard Eugene: History of the Theory of Numbers, II.

Diophantine Analysis. Washington: Carnegie Institution 1920.

[Dickson 1966] Dickson, Leonard Eugene: History of the Theory of Numbers; vol II. New York: Chelsea 1966.