1/4 miteinerAussage A ,dief¨urElementevon U erf¨ulltseinmuss. U = { u ∈ V : A ( u ) } , definiert: Unterr¨aume U werdenoftdurchBedingungenandieElementevon V ∈ K , u ∈ U = ⇒ s · u ∈ U . u , v ∈ U = ⇒ u + v ∈ Us bzgl.derAdditionundSkalarmultiplikationabgesch

Unterraum

Ein Unterraum U einesK-VektorraumsV besteht aus Elementen

u ∈U ⊆V, die mit der in V definierten Addition und Skalarmultiplikation selbst einen Vektorraum bilden.

Um zu pr¨ufen, obU ⊂V ein Unterraum ist, gen¨ugt es zu zeigen, dass U bzgl. der Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist:

u,v ∈U =⇒ u+v ∈U s ∈K,u ∈U =⇒ s·u∈U.

Unterr¨aumeU werden oft durch Bedingungen an die Elemente vonV definiert:

U ={u ∈V : A(u)},

mit einer Aussage A, die f¨ur Elemente von U erf¨ullt sein muss.

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Beispiel

Unterr¨aume des Vektorraums der reellen Funktionen

f : R→R, definiert durch zus¨atzliche Eigenschaften

Eigenschaft Unterraum (un)gerade ja

beschr¨ankt ja monoton nein

stetig ja

positiv nein

linear ja

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exemplarische Begr¨undungen beschr¨ankt:

|f_k| ≤ck =⇒ |f₁(x) +f2(x)| ≤ |f₁(x)|+|f₂(x)| ≤c1+c2

|f| ≤c =⇒ |sf(x)| ≤sc jeweils∀x

f1+f2 und sf sind beschr¨ankt Unterraumkriterium erf¨ullt monoton:

h(x) = exp(x)−x nicht monoton wegen lim

x→±∞h(x) = +∞

trotz Monotonie vonf(x) = exp(x) und g(x) =x

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Beispiel

Gerade in einemK-VektorraumV:

U : u=a+tb, t ∈K mit fest gew¨ahlten Elementena,b∈V

(i)a= 0 Unterraum:

u1,u2∈U =⇒ u1+u2=t1b+t2b= (t1+t2

| {z }

t

)b ∈U s ∈K,u∈U =⇒ su=s(tb) = (st)b∈U

(ii) 0∈/ U, d.h. a6= 0 und b6=sa kein Unterraum:

u ∈U =⇒ su=s(a+tb) = 06∈U f¨urs = 0

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