definiert.EristinvariantunterorthogonalenKoordinatentransformationenundgibtdieRichtungdesst¨arkstenAnstiegsdesSkalarfeldesan. ∂ U U = ∂ U ∂ U   DerGradienteinesSkalarfeldes U wirddurchgrad Gradient

Gradient

Der Gradient eines Skalarfeldes U wird durch

grad U =





∂

U

∂

U

∂

U





definiert.

Er ist invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen und gibt die Richtung des st¨ arksten Anstiegs des Skalarfeldes an.

Gradient 1-1

Alternativ l¨ asst sich der Gradient von U (P ) als Grenzwert von Integralen

¨ uber die Oberfl¨ ache S eines den Punkt P enthaltenden r¨ aumlichen Bereichs V definieren:

lim

diamV→0

1 vol V

Z Z

S

U d S ~ ,

wobei das vekorielle Fl¨ achenelement d S ~ nach außen orientiert ist.

Dies folgt aus einer Variante des Integralsatzes von Gauß und zeigt insbesondere die Invarianz des Gradienten unter orthogonalen Koordinatentransformationen.

Gradient 1-2