Numerik der partiellenDierentialgleihungen Mathematik,HS
2007
Prof. D. Cohenund I. Sim UniversitätBasel
Serie
12
In dieser Serie betrahten wir alseinModellproblemdie Wellengleihung
u tt = u xx
inΩ × T := (0, π) × (0, T ] u(x, 0) = 2 sin(x)
inΩ
u t (x, 0) = 0
inΩ
u(x, t) = 0
auf∂Ω × T.
1.
Finden Sie die shwahe Form des Modellproblems und bauen Sie das lineare Dif-
ferentialgleihungssystem mit der linearen FEM, das die zweite Ableitung von dem
Lösungsvektor enthält.
2.
a) Formulieren Sie das lineare Dierentialgleihungssystem in der ersten Order
aus der Aufgabe
1
mit der Anwedung von der expliziten Euler-Methode bzw. der Crank-Niolson-Methode.b)Finden SiedieCFL-Bedingung fürdas Modellproblem.
)ImplementierenSiehiermitdasModellproblemmitder linearenundquadratishen
FEM.
3.
ImplementierenSiedasModellproblemausdemlinearenDierentialgleihungssystem
inder zweiten Ordermitder Leap-Frog-Methode:
¨
y = f (y) −→ y n+1 − 2y n + y n − 1 = ∆t 2 f(y n ).
4.
Implementieren Siedas obige Problem mitdem Newmark-Algorithmus:
wir lösen das lineare Dierentialgleihungssystem
M¨ u + Su = 0 , u = u 0 ,
˙
u = u ˆ 0 .
β = 1 4 , γ = 1 2 , d = u (x, 0) , v = u t (x, 0) , a = u tt (x, 0) .
II. Prediktor
d ˜ = d + ∆t v + ∆t 2
2 (1 − 2β) a ,
˜
v = v + ∆t (1 − γ) a .
III. Lösung für
a
( M + β ∆t 2 S ) a = − S d ˜ .
III. Korrektur
