u ( x ) = ln ln

(1)

Numerik der partiellenDierentialgleihungen Mathematik,HS

2007

Prof. D. Cohenund I. Sim UniversitätBasel

Serie

8

1.

Sei

Ω = { x ∈ R ² : | x | < 1}

^und

u ( x ) = ln ln

e

|x|

. Zeigen Sie, dass

u ∈ H ₀ ¹ (Ω)

^.

2.

Seien

V

^ein Hilbertraum,

a : V × V → R

^eine ^stetige

V

-elliptishe Bilineare Form und

l : V → R

^eine ^stetige ^F^orm. ^Zeigen ^Sie, ^falls^das ^Problem

nde

u ∈ V

^so, ^dass

a(u, v) = ℓ(v) ∀v ∈ V

eine Lösung hat, dann istsie eindeutig.

ZeigenSie auh,dass die Lösungdie folgendeUngleihung erfüllt:

kuk ^V ≤ C ₁ kℓk

mit

k ℓ k

^die ^kleinste ^Konstante ^so,^dass

k ℓ ( v )k ≤ C ₂ k v k ∀ v ∈ V

^erfüllt^ist.

3.

ZeigenSie, dass das folgende Problemdie Voraussetzung vonLax-Milgramm erfüllt:

nde

u ∈ H ₀ ¹ (Ω) , Ω ⊂ R ²

^so, ^dass

a(u, v) = ℓ(v )

mit

a(u, v) = Z

Ω

∇u∇v, ℓ(v) = Z

Ω

f v.

4.

Finden Sie die shwahe Form des folgenden Problems und zeigen Sie, dass dieses

Problemdie Voraussetzung vonLax-Milgramm erfüllt:

( −

^d

d

x

c ₁

^d

^u

d

x

+ c ₂

^d

^u

d

x = f

u(0) = u(1) = 0.

(2)

Betrahten Sie Ihr Finite-Elemente-Programm aus der Serie 6 (Aufgabe3). Berehe-

nen Sie dieFehler-Ordnung mit Hilfe von

L ²

^-Norm ^und

H ¹

^-Norm. ^Hierbei ^benutzen

Sie Matlab-Befehl, loglog für das Verhalten von den numerishen Fehlern und den

Gittershrittweiten

log k u ^num − u ^ext k ^L ² (Ω)

log(h) ≃ 2 , log k u ^num − u ^ext k ^H ¹ (Ω)

log(h) ≃ 1

und gradient für dieableitung vonden Funktionen.

u ( x ) = ln ln

2007

8

Ω = { x ∈ R 2 : | x | < 1}

u ( x ) = ln ln

|x|

u ∈ H 0 1 (Ω)

V

a : V × V → R

V

l : V → R

u ∈ V

a(u, v) = ℓ(v) ∀v ∈ V

kuk V ≤ C 1 kℓk

k ℓ k

k ℓ ( v )k ≤ C 2 k v k ∀ v ∈ V

u ∈ H 0 1 (Ω) , Ω ⊂ R 2

a(u, v) = ℓ(v )

a(u, v) = Z

Ω

∇u∇v, ℓ(v) = Z

Ω

f v.

( −

x

c 1

u

x

+ c 2

u

x = f

u(0) = u(1) = 0.

L 2

H 1

log k u num − u ext k L 2 (Ω)

log(h) ≃ 2 , log k u num − u ext k H 1 (Ω)

log(h) ≃ 1

Ω = { x ∈ R ² : | x | < 1}

u ∈ H ₀ ¹ (Ω)

kuk ^V ≤ C ₁ kℓk

k ℓ ( v )k ≤ C ₂ k v k ∀ v ∈ V

u ∈ H ₀ ¹ (Ω) , Ω ⊂ R ²

c ₁

^u

+ c ₂

^u

L ²

H ¹

log k u ^num − u ^ext k ^L ² (Ω)

log(h) ≃ 2 , log k u ^num − u ^ext k ^H ¹ (Ω)