integer ln 0.05 ln(pek(T2)tP,2

(1)

Mathematik II: Lineare Algebra und Systemanalyse Ubungen WS 2004/05¨ Teil Systemanalyse

Dieter Imboden

Ubung 5, vom 17.01.2005¨ R ¨uckgabe am 24.01.2005

Aufgabe 1 – L ¨osung: Yoghurtproduktion in einer StudentInnen-WG

1. Die Menge an Salmonellenx_n nach dem n-ten Produktionsdurchgang in den f ünf Yoghurtgläsern und somit in der(n+ 1)-ten Starterkultur ergibt sich mit dem Verd ünnungsfaktorp= 0.2zu

xi = (pe^k(T⁾^t^P)ⁿx0. (1)

Istpe^k(T^)t^P >1, so nimmt die Anzahl an Salmonellen im Yoghurt exponentiell mit den Durchgängen zu, f ürpe^k(T^)t^P= 1bleibt sie unverändert und f ürpe^k(T)^t^P<1nimmt sie exponentiell ab. F ürpe^k(T)^t^P≤1 kommt es also nicht zu einer Erkrankung der StudentInnen. Wegen

pe^k(T¹^)t^P,1 ' 1.16 (2)

pe^k(T²^)t^P,2 ' 0.952 (3)

wird letzteres nur f ¨urT =T₂= 42^◦Cerreicht.

2. Schreiben wir (1) in der Form

x_i = e^ln(p^e^k(T⁾^t^P⁾ⁿx₀, (4)

sehen wir sofort, dass nach

n_5% = integer

ln 0.05 ln(pe^k(T²^)t^P,2)

= 61 (5)

Produktionsdurchgängen die Salmonellenkonzentration unter 5% der Anfangskonzentration gesunken ist. Die Funktion integer(x)runde immer auf die nächste betragsmässig gr össere ganze Zahl nahexauf.

Aufgabe 2 – L ¨osung: Aufgabe 7.3 aus dem Buch

1. Mit dem Chlorid-Inhalt in der i-ten Wocheyi, dem relativen w öchentlichen L ösungsr ückhaltp= 80%

und dem w ¨ochentlichen konstanten Chlorid-InputJ = 10 kgergeben sich die Differenzengleichungen

y1 = p y0+J (6)

y₂ = p²y₀+pJ+J (7)

... ... (8)

y_n = pⁿy₀+J

n−1

X

i=0

pⁱ (9)

= pⁿy₀+J 1−pⁿ

1−p . (10)

Mitp <1und f ¨urn→ ∞gehty_n → J/(1−p) = y_∞und nach Einsetzen der Zahlenwerte ergibt sich y_∞= 50 kg.

2.

yn=pⁿy0+y_∞(1−pⁿ) > 0.95y_∞ (11)

y₀= 0 ⇒ pⁿ = e^(ln^p)ⁿ < 0.05 (12)

lnp <0 ⇒ n > ln 0.05

lnp '13.4 (13)

Bereits nach14Wochen ist die Station¨arkonzentration bis auf weniger als5%erreicht.