Tr ln(−∂ 2 − m 2 )] =

Quantenfeldtheorie II SS 15 Prof. Jan Plefka Ubungsblatt 3 ¨

Abgabe Mittwoch 20.05 nach der Vorlesung – Besprechung am Freitag 22.05

Aufgabe 3.1 – Funktionaldeterminante (10 Punkte)

In der Vorlesung hatten wir eine Darstellung der Funktionaldeterminante des Klein- Gordon-Operators angegeben. Mit det(−∂ ² − m ² ) = exp[Tr ln(−∂ ² − m ² )] gilt

Tr ln(−∂ ² − m ² )] =

Z d ⁴⁻² p

(2π) ⁴⁻² ln(p ² − m ² ) . a) Zeigen Sie, dass in dimensionaler Regularisierung gilt

− i

2 µ ¯ ⁴⁻² Tr ln

(−∂ ² − m ² )

−∂ ²

= − m ⁴ 64π ²

1

+ m ⁴ 64π ²

h ln

m ² µ ²

− 3 2 i

. Hierbei ist zu beachten, dass µ ² = 4π ² µ ¯ ² e ^−γ

ist.

b) Berechnen Sie dasselbe Objekt in einer “cutoff” Regularisierung mit p _E = (−ip ₀ ,~ p) Tr ln

(−∂ ² − m ² )

−∂ ²

= −i Z

|p

|<Λ

d ⁴ p _E

(2π) ⁴ ln(1 + m ² p ² _E ) und vergleichen Sie die Ergebnisse!

Aufgabe 3.2 – Gaußsches Graßmannintegral (5 Punkte) Betrachten Sie das Gauß’sche Integral

I _lm = (

N

Y

k=1

Z

dθ _k ^∗ dθ _k ) θ _l θ ^∗ _m exp (−θ ^∗ _i B _ij θ _j )

mit der hermiteschen N × N Matrix B, d.h. B ^† = B. Zeigen Sie, dass f¨ ur anti- kommutierende, komplexe Grassmannzahlen θ _i und θ ^∗ _i , d.h. θ _i θ _j = −θ _j θ _i , folgt I = const (detB )

B ⁻¹

lm .

Aufgabe 3.3 – Schwinger-Dyson-Gleichung (5 Punkte)

Zeigen Sie, dass f¨ ur eine skalare QFT mit der Lagrangefunktion L[φ] = − ¹ ₂ φ∂ ² φ +L _pot [φ]

die folgende Relation f¨ ur das erzeugende Funktional Z[J] gilt,

−i∂ _x ² ∂Z [J ]

∂J(x) = n L ⁰ _pot

−i ∂

∂J(x)

+ J(x) o Z[J] .

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