Abgabe Freitag 01.12 vor der Vorlesung – Besprechung in der Woche danach

P2.2 Elektrodynamik WS 16/17 Prof. Jan Plefka Ubungsblatt 6 ¨

Abgabe Freitag 01.12 vor der Vorlesung – Besprechung in der Woche danach

H18 - Fourierentwicklung [2P]

Wir betrachten eine Funktion f (x), die L-periodisch ist, d.h. f (x) = f (x + L). Die Aussage der Fourierentwicklung ist, dass eine Darstellung der Form

f(x) = f ₀ +

∞

X

n=1

h a _n cos

n 2π

L x

+ b _n sin

n 2π L x

i

= f ₀

|{z} =:c

+

∞

X

n=1

a n

2 + b n

2i

| {z }

=:c

e ⁱⁿ

^x +

∞

X

n=1

a n

2 − b n

2i

| {z }

=:c

e ⁻ⁱⁿ

^x =

∞

X

n=−∞

c _n e ⁱⁿ

^x

existiert.

a) Zeigen Sie die Orthogonalit¨ atsrelation 1

L Z L

0

dx

e ⁱⁿ

^x ∗

e ^im

^x = δ _nm .

b) Bestimmen Sie unter der Annahme der G¨ ultigkeit der Fourierentwicklung von f(x) die Koef- fizienten c _n als Funktion von f . Zeigen Sie weiterhin, dass gilt

f ₀ = 1 L

Z L 0

dxf(x) = ¯ f , a _n = 2 L

Z L 0

dxf (x) cos(n 2π

L x) , b _n = 2 L

Z L 0

dxf (x) sin(n 2π L x) . c) Als n¨ achstes wollen wir die Vollst¨ andigkeit des zugrundeliegenden Funktionensystems U _n (x) :=

√ 1

L e ⁱⁿ

^x beweisen, d.h. das gilt

∞

X

n=−∞

U _n ^∗ (x) U _n (y) = δ(x − y) f¨ ur x − y ∈ [0,L]

Betrachten Sie hierzu den obigen Ausdruck mit einem konvergenzerzeugenden Faktor, d.h.

berechnen Sie zun¨ achst

K (x) = 1 L

∞

X

n=−∞

e ⁱⁿ

^x e ^−|n|

und zeigen Sie dass sich lim _→0 K (x) = P

m δ(x + mL) ergibt, wobei man die Darstellung der δ-Funktion aus der Vorlesung δ(x) = lim →0 /π

+x

verwendet. Aus diesem Ergebnis folgt die bemerkenswerte und n¨ utzliche Relation

1 L

∞

X

n=−∞

e ⁱⁿ

^x =

∞

X

m=−∞

δ(x + m L) . bitte wenden

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H19 - Separation der Variablen [2P]

Wir betrachten ein Randwertproblem eines von Leiterplatten begrenzten Rechtecks in zwei Di- mensionen. Der Bereich V = {(x,y) : x ∈ [0,x ₀ ], y ∈ [0,y ₀ ]} sei ladungsfrei. Die rechte Seite trage das Potential Φ(x ₀ ,y) = ϕ ₀ (y) = U · sin( _y ^π

0

y), die anderen drei Seiten seien geerdet, d.h. Φ = 0.

Bestimmen Sie das elektrostatische Potential in ganz V . H20 Rodrigues-Formel [1P]

Zeigen Sie, dass die Legendrepolynome

P _l (x) = 1 2 ^l l!

d ^l

dx ^l (x ² − 1) ^l die Legendre’sche Differentialgleichung

(x ² − 1)P _l ⁰⁰ (x) + 2x P _l ⁰ (x) − l(l + 1) P _l (x) = 0 erf¨ ullen. Differenzieren Sie dazu (l + 1)-mal die Gleichung

(x ² − 1) d

dx (x ² − 1) ^l = 2lx(x ² − 1) ^l .

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