Abgabe Mittwoch 29.06 vor der Vorlesung – Besprechung am 05.07

P2.1 Klassische Mechanik SS 16 Prof. Dr. J. Plefka/PD Dr. T.Klose Übungsblatt 10

Abgabe Mittwoch 29.06 vor der Vorlesung – Besprechung am 05.07

H27 - Seifenhaut [2P]

Sie tauchen zwei Ringe in Seifenlauge und ziehen Sie vorsichtig wieder heraus. Zwischen den beiden Ringen hat sich eine Seifenhaut gebildet.

In dieser Aufgabe sollen Sie die geometrische Form dieser Seifenhaut für den Fall berechnen, dass die beiden Ringe den Radius R haben und sich parallel zueinander im Abstand 2L voneinander befinden—dass sie also die Stirnflächen eines Zylinders bilden.

Gehen Sie wie folgt vor:

(a) Aufgrund der Symmetrie der Anordnung wissen Sie, dass die Seifenhaut eine Rotationsfläche bildet. Das Profil dieser Fläche wird durch die Funktion r _⊥ (z) beschrieben. Diese Funktion erfüllt r ⊥ (L) = r ⊥ (−L) = R. Stellen Sie eine Formel für den Flächenin- halt einer solchen Rotationsfläche auf. Ihre Formel sollte ein Inte- gral über z sein.

(b) Berechnen Sie das Profil, für welches der Flächeninhalt minimal wird. Es reicht, wenn Sie die allgemeine Form des Profils finden, ohne dass Sie sich um die Randbedingungen kümmern.

Hinweis: Ein nützliches Integral lautet Z dξ

p ξ ² − c ² = arccosh ξ c .

(c) Versuchen Sie nun, die Randbedingungen zu erfüllen. Gibt es für beliebiges R und L eine eindeutige Lösung? Eine qualitative Antwort reicht.

Tipp: Dazu brauchen Sie eventuell einen Funktionenplotter, z.B. den unter

http://www.freetutor.de/plotter.html. Die Funktion cosh x und deren Umkehrfunk- tion arccosh x gibt man als cosh(x) bzw. acosh(x) ein.

H28 - Gravitationszug [2P]

In der Elektrostatik haben Sie sicherlich bereits gelernt, dass im Innern einer geladenen Ku- gelschale keinerlei Kraft auf eine Testladung wirkt. Da das Coulomb’sche und das Newton’sche Gravitationsgesetz formäquivalent sind, herrscht Kraftfreiheit auch für eine Testmasse im In- nern einer massiven Hohlkugel. Aufgrund des Superpositionsprinzips hat dies zur Konsequenz, dass eine Testmasse innerhalb einer Vollkugel in einer Entfernung r vom Zentrum lediglich ei- ne Anziehungskraft erfährt, die von einer Vollkugel des Radius r herrühren würde. Wir wollen uns dies zum technologischen Nutzen machen und einen Gravitationszug bauen: Wir verbinden zwei Punkte auf der Erdoberfläche durch einen geraden Tunnel, der durch das Erdinnere läuft.

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Die Massendichte der Erde nehmen wir als konstant an. Unser Zug startet bei t = 0 in Ruhe am Ausgangspunkt und fällt (= fährt) reibungsfrei durch die Erde, um zum Zeitpunkt t = T sein Ziel zu erreichen. Bestimmen Sie die Reisezeit T (in Minuten) für einen Pendelverkehr von Berlin-Adlershof nach Berlin-Mitte, sowie für eine Reise von Berlin nach New York.

H29 - Schwerpunktsatz aus dem Noether Theorem [1P]

In der Vorlesung haben wir das Noethertheorem kennengelernt: Eine Symmetrietransfomation ist eine Zeit- und Koordinatentransformation

t ⁰ = t + τ (t) , q _a ⁰ (t ⁰ ) = q a (t) + ∆q a (t)

unter der die Lagrangefunktion bis auf eine totale Zeitableitung invariant ist L ⁰ (q ⁰ , q ˙ ⁰ , t ⁰ ) = L(q, q, t) + ˙ _dt ^d F (q,t). Zu jeder solchen durch τ , ∆q _a und F parametrisierten Symmetrietrans- formation gibt es eine Erhaltungsgröße

H(t) τ (t) − X

a

p _a (t) ∆q _a (t) + F (t) = const ,

wobei H(t) die Hamiltonfunktion bezeichnet. Zeigen Sie, dass die zur eigentlichen Gallileitrans- formation

t ⁰ = t , ~ x

_i = ~ x _i + ∆~ v t , i = 1, . . . , N

assozierte Erhaltungsgröße gerade der Schwerpunktsatz ist, wenn wir es mit einem Potential des N -Teiclhensystems der Form V = V (|~ x _i − ~ x _j |) zu tun haben.

Achtung: Stellen Sie sicher, ob es ein nichtverschwindendes F in diesem Problem gibt.

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