Abgabe Freitag 28.11 vor der Vorlesung – Besprechung in der Woche danach

P2.2 Elektrodynamik WS 16/17 Prof. Jan Plefka Ubungsblatt 1 ¨

Abgabe Freitag 28.11 vor der Vorlesung – Besprechung in der Woche danach

H1 - Satz von Stokes [2P]

Gegeben sei das Vektorfeld

A(x,y,z) = (x ~ ² y, x ³ + 2xy ² ,xyz)

a) Berechnen Sie das Integral entlang eines Kreises S um den Ursprung in der xy-Ebene mit Radius R

I = I

S

d~ x · A . ~

b) Berechnen Sie die Rotation B ~ des Vektorfeldes A ~ B ~ = ∇ × ~ A . ~

c) Berechnen Sie nun den Fluss der Rotation B ~ durch die von S berandete Kreisscheibe D,

∂D = S

I ⁰ = Z

D

dx ² ~ n · B , ~ und vergleichen Sie I mit I ⁰ !

H2 - Gauß’scher und Stokes’scher Satz f¨ ur Skalarfelder [1P]

Der Gauß’sche und Stokes’sche Satz f¨ ur ein Vektorfeld E ~ lauten Z

V

d ³ x ~ ∇ · E ~ = I

S(V )

d ~ f · E , ~ I

∂F

d~ x · E ~ = Z

F

d ~ f · ( ∇ × ~ E) ~ ,

f¨ ur ein Volumen V und Fl¨ ache F . Betrachten Sie nun den speziellen Fall, dass E(~ ~ x) = A ϕ(~ ~ x) , mit A ~ =const .

Zeigen Sie, dass dann die S¨ atze f¨ ur das skalare Feld ϕ(~ x) gelten Z

V

d ³ x ~ ∇ϕ = I

S(V )

d ~ f ϕ , I

∂F

d~ x ϕ = Z

F

d ~ f × ∇ϕ .

gelten. Mit wievielen Komponenten hat man es in diesen beiden Gleichungen zu tun?

H3 - Dirac’sche Deltafunktion [2P]

Die Dirac’sche δ-Funktion wird oft gebraucht, um in einer Ladungsdichte Punktladungen darzu- stellen. Sie ist definiert durch die folgende Eigenschaft bei Integration ¨ uber eine glatte Testfunk- tion f mit kompakten Tr¨ ager:

Z ∞

−∞

dx f (x) δ(x − a) = f (a)

1

a) Zeigen Sie, dass die δ-Funktion als Grenzwert lim →0 g (x) = δ(x) geschrieben werden kann, wobei

g (x) = 1

√ 2π e ^−x

.

b) Zeigen Sie, dass die Ableitung der δ-Funktion die folgende Eigenschaft besitzt Z ∞

−∞

dx f (x) δ ⁰ (x − a) = −f ⁰ (a) .

c) Zeigen Sie unter Ausnutzung der in der Vorlesung argumentierten Relation

δ[g(x)] = X

n

1

|g ⁰ (x _n )| δ(x − x _n ) , mit den x _n Nullstellen von g,

dass die folgenden Relationen gelten:

δ(−x) = δ(x) , δ[(x − α)(x − β)] = δ(x − α) + δ(x − β)

|α − β| .

d) Wie lautet die zweidimensionale δ-Funktion δ(x)δ(y) in ebenen Polarkoordinaten ρ, ϕ? D.h.

mit

δ(x)δ(y) = f(ρ,ϕ) δ(ρ)δ(ϕ) wie lautet f (ρ,ϕ)?

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