Ubungsblatt 4, Abgabe am Fr. 16.11.12 nach der Vorlesung, ¨ Besprechung in den ¨ Ubungen am 21.11.12/23.11.12.

Humboldt-Universit¨at zu Berlin Institut f¨ ur Physik

Dr. V. Mitev, D. M¨ uller, H. M¨ unkler, Prof. Dr. J. Plefka Fortgeschrittene Quantentheorie WS 2012/13

Ubungsblatt 4, Abgabe am Fr. 16.11.12 nach der Vorlesung, ¨ Besprechung in den ¨ Ubungen am 21.11.12/23.11.12.

1 Messungen an einem Spin 1/2 System

Ein Spin-

Teilchen befinde sich im Zustand | + � , wobei |±� die Eigenzust¨ande der Spinkomponente in z-Richtung ˆ S

bezeichne. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass man bei einer Messung der Spinkomponente bezgl. einer beliebigen Richtung �x den Messwert −

findet.

2 Dreispinsystem

Drei Spins (s =

) in einem Magnetfeld B � = B�e

wechselwirken durch eine isotrope Austauschkopp- lung miteinander. Der Hamilton-Operator lautet

H ˆ := − γB

�

i=1

S

− J

�

�

i<j=1

S �

· S �

,

wobei γ und J freie Parameter sind. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von ˆ H, sowie die Erwartungswerte ��

v � �S

� �v ��

i=1

der Einzelspinoperatoren in den Eigenzust¨anden v von ˆ H.

3 Gesamtdrehimpuls

Berechnen Sie f¨ ur den Gesamtdrehimpuls des Elektrons

J � = � L + S , � (S =

, l ≥ 1, l ganzzahlig)

die gemeinsamen Eigenzust¨ande | j, m

, l,

� := | j, m

� der Operatoren J �

, J

, L �

und S �

als Linear-

kombination der Eigenzust¨ande der Produktbasis | l, m

,

, ±� der Operatoren � L

, L

, � S

, S

.