Vorlesung
Mathematik f¨ur Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
Kapitel 10: Integralrechnung mehrerer Ver¨anderlicher
Volker Kaibel
Otto-von-Guericke Universit¨at Magdeburg
(Version vom 7. November 2012)
Eine Ver¨anderliche (Riemann-Summe)
Fl¨ache zwischen Graph und x-Achse
St¨uckweise glatter Rand
B
Unterteilung
B
R
Integral-Definition (n = 2)
Definition 10.1
Das Integral einer integrierbaren Funktion f :R2 ⊇ B →R ¨uber B ist
Z Z
B
f(x,y)dx dy := lim
q→∞
q
X
i=1 q
X
j=1
f(ξij, ηij)·4xq·4yq.
Riemannsumme
5
10
15
20
5 10
15 20
0 50 100 150 200
Integral-Definition (n = 3)
Definition 10.2
Das Integral einer integrierbaren Funktion f :R3 ⊇ B →R ¨uber B ist:
Z Z Z
B
f(x,y,z)dx dy dz :=
q→∞lim
q
X
i=1 q
X
j=1 q
X
k=1
f(ξijk, ηijk, τijk)· 4xq· 4yq · 4zq.
Integrale vektorwertiger Funktionen
Definition 10.3
Sind alle Komponentenfunktionen fi von f = (f1, . . . ,fm) : R2 ⊇ B →Rm integrierbar, so heißt f integrierbar und wir definieren
Z Z
B
f dx dy :=
RR
B
f1dx dy ...
RR
B
fmdx dy
.
(Entsprechend f¨ur n = 3 mit RRR .)
Rechenregeln f¨ur Integrale (n = 2) . . .
Seien f,g : R2 ⊇B → R integrierbar und λ ∈ R.
I RR
B
(f +g)dx dy = RR
B
f dx dy +RR
B
g dx dy
I RR
(λ·f)dx dy = λ·RR
B
f dx dy
I Falls f(x,y) ≤g(x,y) f¨ur alle (x,y) ∈ B: Z Z
B
f dx dy ≤ Z Z
B
g dx dy
I |RR
B
f dx dy| ≤RR
B
|f|dx dy
. . .
I Kann man B durch endlich viele glatte Kurven in B1 und B2 trennen, so gilt:
Z Z
B
f dx dy = Z Z
B1
f dx dy + Z Z
B2
f dx dy
B1
B2
. . . Rechenregeln f¨ur Integrale (n = 2)
I Stimmen f und g fast ¨uberall ¨uberein (d. h.
f(x,y) =g(x,y) f¨ur alle (x,y) ∈ B \N, wobei N Vereinigung endlich vieler glatter Kurven ist), so gilt
Z Z
B
f dx dy = Z Z
B
g dx dy.
Rechenregeln f¨ur Integrale (n = 3) . . .
Seien f,g : R3 ⊇B → R integrierbar und λ ∈ R.
I RRR
B
(f +g)dx dy dz = RRR
B
f dx dy dz +RRR
B
g dx dy dz
I RRR
B
(λ·f)dx dy dz = λ·RRR
B
f dx dy dz
I Falls f(x,y,z) ≤ g(x,y,z) f¨ur alle (x,y,z) ∈ B:
Z Z Z
B
f dx dy dz ≤ Z Z Z
B
g dx dy dz
I |RRR
B
f dx dy dz| ≤ RRR
B
|f|dx dy dz
. . .
I Kann man B durch endlich viele glatte Fl¨achen in B1 und B2 trennen, so gilt:
Z Z Z
B
f dx dy dz =
Z Z Z
B1
f dx dy dz + Z Z Z
B2
f dx dy dz
. . . Rechenregeln f¨ur Integrale (n = 3)
I Stimmen f und g fast ¨uberall ¨uberein (d. h.
f(x,y,z) = g(x,y,z) f¨ur alle
(x,y,z) ∈ B \N, wobei N Vereinigung endlich vieler glatter Fl¨achen ist), so gilt
Z Z Z
B
f dx dy dz = Z Z Z
B
g dx dy dz.
Mehrfachintegration ¨uber Rechtecken
Satz 10.4
Ist f : R2 ⊇B → R stetig ¨uber einem Rechteck B = [a1,b1]×[a2,b2], so ist
RR
B
f(x,y)dx dy =
b1
R
a1
b2
R
a2
f(x,y)dy
! dx
=
b2
R
a2 b1
R
a1
f(x,y)dx
! dy
Mehrfachintegration ¨uber Rechtecken
B
x y
a1 b1
a2 b2
B
x y
a1 b1
a2 b2
Mehrfachintegration (n = 2, innen dy)
Satz 10.5
Seien α, β : [a,b] → R differenzierbar mit α(x) ≤ β(x) f¨ur alle x ∈ [a,b] und
B := {(x,y) ∈ R2|α(x) ≤ y ≤β(x), a ≤ x ≤ b}.
F¨ur jede stetige Funktion f : B →R gilt dann:
Z Z
B
f(x,y)dx dy =
b
Z
x=a
β(x)
Z
y=α(x)
f(x,y)dy
dx
Innere Integration dy
β
α B
x y
x=a x=b
Mehrfachintegration (n = 2, innen dx)
Satz 10.6
Seien γ, δ : [c,d] →R differenzierbar mit γ(y) ≤ δ(y) f¨ur alle y ∈ [c,d] und
B = {(x,y) ∈ R2|γ(y) ≤ x ≤ δ(y), c ≤ y ≤ d}.
F¨ur jede stetige Funktion f : B →R gilt dann:
Z Z
B
f(x,y)dx dy =
d
Z
y=c
δ(y)
Z
x=γ(y)
f(x,y)dx
dy
Innere Integration dx
γ δ
B
x y
y=c y=d
Fl¨acheninhalt / Schwerpunkt
Definition 10.7
Sei B ⊆ R2 kompakt mit st¨uckweise glattem Rand.
1. Der Fl¨acheninhalt von B ist RR
B1dx dy .
2. Ist F > 0 der Fl¨acheninhalt von B, so hat der Schwerpunkt (xs,ys) ∈ R2 von B die
folgenden Koordinaten:
xs = 1 F
Z Z
B
x dx dy und ys = 1 F
Z Z
B
y dx dy
Schwerpunkt einer Halbkreisscheibe
B
x y
2 1
Mehrfachintegration (n = 3)
Satz 10.8
Seien α, β : R2 ⊇ B˜ →R differenzierbar mit α(x,y) ≤ β(x,y) und B die Menge
{(x,y,z) ∈ R3|α(x,y) ≤ z ≤ β(x,y),(x,y) ∈ B˜} (mit kompakter Menge B˜ mit st¨uckweise glattem Rand). F¨ur jede stetige Funktion f : B → R ist RRR
B
f(x,y,z)dx dy dz gleich
Z Z
B˜
β(x,y)
Z
z=α(x,y)
f(x,y,z)dz
dx dy .
Analogon f¨ur innere Integration dy
Z Z Z
C
f(x,y,z)dx dy dz =
Z Z
C˜
δ(x,z)
Z
y=γ(x,z)
f(x,y,z)dy
dx dz
Analogon f¨ur innere Integration dx
Z Z Z
D
f(x,y,z)dx dy dz =
Z Z
D˜
τ(x,z)
Z
x=ω(x,z)
f(x,y,z)dx
dy dz
Ein Keil
0.0
0.5
1.0 -1.0
-0.5 0.0
0.5 1.0
0.0 0.5 1.0
Volumen / Schwerpunkt
Definition 10.9
Sei B ⊆ R3 kompakt mit st¨uckweise glattem Rand.
1. Das Volumen von B ist Z Z Z
B
1dx dy dz.
2. F¨ur eine Dichtefunktion f : B → R+ (stetig) ist Z Z Z
B
f(x,y,z)dx dy dz . die Masse des K¨orpers B.
Koordinaten des Schwerpunkts (n = 3)
Definition 10.9
3. Ist V > 0 das Volumen von B, so hat der Schwerpunkt (xs,ys,zs) ∈ R3 von B die folgenden Koordinaten:
xs = 1 V
Z Z Z
B
x dx dy dz
ys = 1 V
Z Z Z
B
y dx dy dz
zs = 1 V
Z Z Z
B
z dx dy dz
Transformation: Polarkoordinaten
ρ ϕ
x y
4
3 4 3
π/2 1
1
Parallelogramm
Determinante von A ∈ R2×2
det
a1 b1 a2 b2
= a1b2 −a2b1
Transformationsformel f¨ur n = 2
Satz 10.10
Seien B,Q ⊆ R2 kompakt mit st¨uckweise glatten R¨andern, f : B →R stetig, und definiere
(u,v) → (x(u,v), y(u,v)) eine differenzierbare Abbildung, die
(i) Q surjektiv auf B abbildet und
(ii) zumindest auf dem Inneren von Q injektiv ist.
Dann ist RR
B
f(x,y)dx dy gleich:
Z Z
Q
f(x(u,v),y(u,v))·
det
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
!
du dv.
Beispiel: Kreisring
ρ ϕ
x y
4
3 4 3
2π B
Q
Integrale in Polarkoordinaten
Satz 10.11
Sei B ⊆ R2 kompakt mit st¨uckweise glattem Rand und sei Q ⊆[0,∞[×[0,2π] die Menge aller (%, φ) mit (%cosφ, %sinφ) ∈ B. Ist f : B → R stetig, so gilt:
Z Z
B
f(x,y)dx dy = Z Z
Q
f(%cosφ, %sinφ)·%d%dφ.
f (x,y) = e−
x +y 2
-5
0
5 -5
0
5
0.0 0.5 1.0
e−%2 · %
0
2
4
0 2
4 6
0.0 0.5 1.0
f (t) = e−
t 2
-4 -2 2 4
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Parallelepiped/Spat
Determinante von A ∈ R3×3
det
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
= a1det
b2 c2 b3 c3
−a2det
b1 c1 b3 c3
+a3det
b1 c1 b2 c2
= a1(b2c3−b3c2)−a2(b1c3−b3c1)+a3(b1c2−b2c1)
Transformationsformel f¨ur n = 3. . .
Satz 10.12
Seien B,Q ⊆ R3 kompakt mit st¨uckweise glatten R¨andern, f : B →R stetig, und definiere
(u,v,w) → (x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)) eine differenzierbare Abbildung, die
(i) Q surjektiv auf B abbildet und
(ii) zumindest auf dem Inneren von Q injektiv ist.
Dann ist:
. . . Transformationsformel f¨ur n = 3
Z Z Z
B
f(x,y,z)dx dy dz =
Z Z Z
Q
f(x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w))·
·
det
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
du dv dw
Integrale in Zylinderkoordinaten
Satz 10.13
Sei B ⊆ R3 kompakt mit st¨uckweise glattem Rand und sei Q ⊆[0,∞[×[0,2π] ×R die Menge aller (%, φ,z) mit (%cosφ, %sinφ,z) ∈ B. Ist f : B →R stetig, so ist RRR
B
f(x,y,z)dx dy dz gleich:
Z Z Z
Q
f(%cosφ, %sinφ,z)· %d%dφdz.
Integrale in Kugelkoordinaten
Satz 10.14
Sei B ⊆ R3 kompakt mit st¨uckweise glattem Rand und sei Q ⊆[0,∞[×[0, π]×[0,2π] die Menge aller (r, θ, φ) mit
(r sinθcosφ, r sinθsinφ, r cosθ) ∈ B.
Ist f : B →R stetig, so ist RRR
B
f (x,y,z)dx dy dz:
Z Z Z
Q
f(r sinθcosφ, r sinθsinφ, r cosθ)
·r2sinθ dr dθdφ
Volumen¨anderung Kugelkoordinaten
x
y z
r
Δφ Δθ Δr
Δφ⋅r⋅sinθ θ Δ ⋅r θ
Eine halbe Hohlkugel
x
y z
R2 R1
