¨Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik Abgabe bis Freitag, 15.12.2018, 12:00 Uhr ¨Ubungstermin: Montag, 18.12.2018 Hinweis:

Prof. Dr. R. Egger WS 2017/18 Blatt 9

Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik ¨

Abgabe bis Freitag, 15.12.2018, 12:00 Uhr Ubungstermin: Montag, 18.12.2018 ¨

Hinweis: Dieses Blatt entspricht in Umfang und Schwierigkeit in etwa der Klausur. Die Klausurtermine mussten verschoben werden. Die Klausur findet am 09.02.2018 um 14:30 Uhr statt. Eine Nachz¨ ugler-Klausur findet am 03.04.2018 um 11:30 Uhr statt. (Orte werden noch bekanntgegeben.) Beachten Sie, dass keine Hilfsmittel erlaubt sind. Die Klausur besteht aus allgemeinen Fragen (siehe Aufgabe 21) sowie aus Aufgaben, bei denen auch Rech- nungen notwendig sind (siehe Aufgabe 22). Zur Vorbereitung empfiehlt es sich, alle ¨ Ubungsaufgaben zu wiederholen.

Aufgabe 21: Grundlagen 9 Punkte

Beantworten Sie die folgenden Verst¨ andnisfragen und erl¨ autern Sie ggf. die Gleichungen auch kurz in Worten.

a) Wie lauten die Maxwellgleichungen (ohne dielektrische Materialen) f¨ ur die Felder E und B bei gegebener La- dungsdichte ρ und Stromdichte J? Geben Sie auch die jeweilige integrale Form an. (3 Punkte)

b) Geben Sie die Maxwellgleichungen aus a) nun in relativistischer Schreibweise an. Welche Gleichung folgt f¨ ur das

Viererpotential A µ in Lorenz-Eichung? (3 Punkte)

c) Wie berechnet sich das magnetostatische Vektorpotential A(r) zur vorgegebenen station¨ aren Stromdichte J(r)?

Ist das Resultat eindeutig? (1 Punkt)

d) Ein elektromagnetisches Feld wirke auf ein bewegtes Punktteilchen der Ladung q. Zeigen Sie, daß das Magnet-

feld keine Arbeit an dem Teilchen leistet. (1 Punkt)

e) Mit welcher Potenz des Abstands r fallen das elektrische Feld einer ruhenden Punktladung bzw. das Strahlungs-

feld eines Hertz’schen Dipols f¨ ur r → ∞ ab? (1 Punkt)

Aufgabe 22: Feld eines Drahtes bei abrupter Strom¨ anderung 11 Punkte Ein unendlicher gerader Draht entlang ˆ e z (Einheitsvektor in z-Richtung) trage den zeitabh¨ angigen Strom I(t). Wir nehmen an, dass zur Zeit t = 0 der Strom eingeschaltet wird, d.h. I = 0 f¨ ur t < 0 und I(t ≥ 0) = I 0 . Dabei sei I(t) nicht vom Ort z abh¨ angig, und die Ladungsdichte im Draht verschwinde bei t < 0, d.h. ρ(z, t < 0) = 0.

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Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik, Blatt 9 ¨

a) Zeigen Sie, dass mit den obigen Annahmen auch ρ(z, t) = 0 f¨ ur t ≥ 0 gilt. Man kann daher die Eichung ϕ = 0 f¨ ur das Skalarpotential w¨ ahlen. Wie berechnen sich dann (allgemein) die elektromagnetischen Felder E(r, t) und

B(r, t) aus dem Vektorpotential A(r, t)? (3 Punkte)

b) Berechnen Sie nun das Vektorpotential an einem beliebigen Ort r f¨ ur t > 0 aus dem retardierten Potential A(r, t) = 1

c Z

d ³ r ⁰ J(r ⁰ , t − |r − r ⁰ |/c)

|r − r ⁰ |

Zeigen Sie durch Ausf¨ uhren der Integration, dass das Vektorpotential gegeben ist durch

A(r, t) =







0, t < R/c,

2I

c e ˆ z ln ct+ √

(ct)

−R

R

, t > R/c,

wobei R = p

x ² + y ² der radiale Abstand vom Draht ist.

Hinweis: Es gilt

Z a 0

√ dz

z ² + R ² = ln a + √ a ² + R ² R

!

(4 Punkte)

c) Bestimmen Sie damit das elektrische und das magnetische Feld am Ort r f¨ ur beliebige t > 0. Was ergibt sich daraus im Limes t → ∞?

Hinweis: F¨ ur ein Vektorfeld der Form V = V _z (r)ˆ e _z , wobei wir Zylinderkoordinaten (r, φ, z ) mit Einheitsvektoren ˆ

e _r , ˆ e _φ , e ˆ _z annehmen, gilt:

∇ × V = − dV _z dr ˆ e _φ .

(4 Punkte)

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