¨Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik Abgabe bis Freitag, 27.01.2017, 12:00 Uhr ¨Ubungstermin: Montag, 30.01.2017 Hinweis:

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Prof. Dr. R. Egger WS 2016/17 Blatt 11

Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik ¨

Abgabe bis Freitag, 27.01.2017, 12:00 Uhr Ubungstermin: Montag, 30.01.2017 ¨

Hinweis: Dies ist das letzte Blatt, welches in etwa den Schwierigkeitsgrad und den Umfang der Klausur darstellt.

Der ¨ Ubungstermin am 06.02.2017 findet als Tutorium statt.

Aufgabe 24: Grundlagen 10 Punkte

Die folgenden Fragen sind kurz, stichpunktartig und ohne ausf¨ uhrliche Rechnungen zu beantworten.

a) Zeigen Sie, dass die Maxwellgleichungen im Vakuum [Ladungsdichte ρ = 0, Stromdichte J = 0] durch den allgemeinen Ansatz einer monochromatischen ebene Welle gel¨ ost werden, und geben Sie diesen Ansatz an!

Erkl¨ aren Sie die Begriffe “lineare Polarisation” und “zirkulare Polarisation”. (3 Punkte) b) Betrachten Sie ein System von N idealen Leitern, dessen elektrostatische Eigenschaften durch die Kapazit¨ ats- koeffizienten C

_jk

(mit j, k = 1, . . . N) beschrieben sind. Die Potentiale V

_j

seien auf allen Leiter vorgegeben. Wie sind die Ladungen Q

_j

zu bestimmen? H¨ angen die C

_jk

noch von den Potentialen V

_j

ab? Was ergibt sich f¨ ur die

elektrostatische Energie? (1 Punkt)

c) Beweisen Sie die Kirchhoff ’sche Knotenregel f¨ ur ein Netzwerk von station¨ aren Leitern: An einer beliebigen Verzweigung von Leitern ist die Summe aller (von der Verzweigung weg orientierten) Str¨ ome gleich Null. Zeigen Sie auch die Maschenregel : In einer geschlossenen Masche verschwindet die Summe aller Spannungsdifferenzen.

(2 Punkte)

d) Die elektromagnetischen Felder E und B werden oft durch Potentiale ϕ und A ausgedr¨ uckt. Wie sieht dieser Zusammenhang aus, und wieso geht man zur Potentialbeschreibung ¨ uber? Zeigen Sie, dass die Potentiale nicht eindeutig sind. Nennen Sie ein Beispiel, wie man dies zur Vereinfachung der Gleichungen benutzen kann.

(2 Punkte) e) Erkl¨ aren Sie den Unterschied zwischen “Eichtransformationen” und “Lorentztransformationen”, und nennen Sie

jeweils eine Invariante. (2 Punkte)

Aufgabe 25: Punktladung im Feld eines elektrischen Dipols 6 Punkte Wir betrachten ein geladenes Punktteilchen der Ladung Q und Masse M , welches sich am Ort r

0

befinde und dort zun¨ achst festgehalten wird. Im Koordinatenursprung befindet sich ein starrer elektrischer Dipol p = pˆ e

z

, der in z-Richtung weist (p > 0).

1

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Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik, Blatt 11 ¨

a) Zeigen Sie: Das elektrische Feld des Dipols ist am Ort r gegeben durch (r = |r|)

E(r) = 3(p · r)r − r

²

p r

⁵

Sie k¨ onnen dabei die Multipolentwicklung, ϕ(r) =

^Q_r

+

^p·r_r3

+ · · ·, verwenden. Welche Kraft ¨ ubt der Dipol auf das Punktteilchen aus? Bestimmen Sie diese Kraft (Betrag und Richtung!) nun f¨ ur (i) r

0

= (a, 0, 0) und (ii)

r

0

= (0, 0, a); dabei sei a > 0. (3 Punkte)

b) Geben Sie die Newton’sche Bewegungsgleichung des Teilchens an, wenn dieses zur Zeit t = 0 bei der Anfangspo- sition (ii) losgelassen wird, d.h. r(t = 0) = (0, 0, a), wobei sich das Teilchen entlang der z-Achse bewegt. L¨ osen Sie diese Gleichung f¨ ur kurze Zeiten, indem Sie um z = a herum linearisieren. Wohin l¨ auft das Teilchen f¨ ur

Q > 0 bzw. f¨ ur Q < 0? (3 Punkte)

Aufgabe 26: Lorentz-Invarianten in der Elektrodynamik 4 Punkte Die elektromagnetischen Felder sind in der relativistischen Formulierung im Faradaytensor F

^µν

enthalten. Man kann allerdings auch den “dualen Tensor” G

^µν

verwenden:

F

^µν

=







0 −E

x

−E

y

−E

z

E

x

0 −B

z

B

y

E

y

B

z

0 −B

x

E

z

−B

y

B

x

0 





, G

^µν

=







0 B

x

B

y

B

z

−B

x

0 −E

z

E

y

−B

y

E

z

0 −E

x

−B

z

−E

y

E

x

0 





Durch Kontraktionen von F und G ergeben sich die Invarianten (Summenkonvention!) I

₁

= F

_µν

F

^µν

, I

₂

= F

_µν

G

^µν

, I

₃

= G

_µν

G

^µν