Abgabe bis 26.10.07 12:00 Uhr, Besprechung 30.10.07

Quantenfeldtheorie I WS 07/08 Prof. Jan Plefka

Übungsblatt 1

Abgabe bis 26.10.07 12:00 Uhr, Besprechung 30.10.07

Aufgabe 1: Klassische Elektrodynamik

Die Klassische Elektrodynamik folgt aus der Wirkung

S= Z

d⁴x

−1

4FµνF^µν

mit Fµν=∂µAν −∂νAµ

a) Bestimmen Sie die zugehörigen Euler-Lagrange Gleichungen und zeigen Sie, dass Sie die Maxwellgleichungen bilden. Benutzen Sie hierzu

Eⁱ=−F⁰ⁱ und ^ijkB^k =−F^ij

b) Bestimmen Sie den Energie-ImpulstensorT_µν der Theorie. Dieser ist zunächst nicht symmetrisch, läßt sich aber durch Addition vonG^µν =∂λ(F^µλA^ν)sym- metrisieren. Zeigen Sie, dass die Addition dieses Terms die Divergenzfreiheit des Energieimpulstensors erhält, also

0 =∂µT^µν =∂µ(T^µν+G^µν)

gilt.

Aufgabe 2: Matrixdarstellung der Lorentzgruppe Zeigen Sie, dass

(Lµν)αβ =λ(ηναδ^β_µ−ηµαδ^β_ν)

die Lorentzalgebra erfüllt. Fixieren Sie ferner den Parameterλso, dass wir

[L_µν, L_ρκ] =i η_νρL_µκ+i η_µκL_νρ−i η_νκL_µρ−i η_µρL_νκ in den Konventionen der Vorlesung erhalten.

1

Aufgabe 3: Kasimiroperatoren der Poincaréalgebra

Zeigen Sie, dass P^µP_µ undW^µW_µmit allen Generatoren der Poincaréalgebra (P_µ,L_µν) vertauschen. Hierbei ist

W^µ= 1

2^µνρκLνρPκ

und wird als der Pauli-Lubanski Vektor bezeichnet.

Hinweis: Benutzen Sie das sich W_µ wie ein 4er Vektor transformiert, d.h.

[Wµ, Lρκ] =i(ηρµWκ−ηκµWρ) Begründen Sie diese Aussage!

2