Technische Universit¨at Chemnitz Stochastik Fakult¨at f¨ur Mathematik
Prof. Dr. I. Veseli´c, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn
Hausaufgabe 6
Abgabe bis 26./27. Mai 07:30
Satz 1 (Lemma von Borel-Cantelli). Sei (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A1, A2,· · · ∈ A Ereignisse. Sei weiterhin A∗ = lim supn→∞An.
(i) Ist P∞
n=1P(An)<∞, so ist P(A∗) = 0.
(ii) Sind A1, A2, . . . unabh¨angig und P∞
n=1¸P(An) = ∞, so ist P(A∗) = 1.
Beachte, A∗ = lim supAn =T∞ n=1
S∞
i=nAi ={An tritt f¨ur unendlich viele n ein}.
Aufgabe 1. Beweisen Sie Teil (ii) des Lemmas von Borel-Cantelli.
Aufgabe 2 (Huyghens Problem). Martin und Fabian werfen abwechselnd ein Paar W¨urfel. Fabian gewinnt, wenn die Augensumme nach seinem Wurf 6 ergibt (und Martin nicht schon vorher gewonnen hat). Martin gewinnt, wenn die Augensumme nach seinem Wurf 7 ergibt (und Fabian nicht schon vorher gewonnen hat). Fabian beginnt das Spiel.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Fabian gewinnt?
Aufgabe 3 (Satz von Bayes). Sei a ∈ (0,1/2). Die Wahrscheinlichkeit pk, dass eine Familie genauk Kinder hat liege bei
p0 =a, p1 =a und pk = (1−2a)2−(k−1) f¨ur k≥2.
Es ist bekannt, dass eine Familie genau zwei Jungs hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
(a) die Familie nur zwei Kinder hat?
(b) die Familie auch genau zwei M¨adchen hat?
Man nehme an, dass die Wahrscheinlichkeit ein M¨adchen zu bekommen genauso groß ist wie die Wahrscheinlichkeit einen Jungen zu bekommen.
Aufgabe 4 (Produkt-W-raum, stochastische Matrizen). (a) F¨ur i ∈ {1,2, . . . , n} sei (Ωi,P(Ωi),Pi) ein Wahrscheinlichkeitsraum, wobei Ωi endlich und Pi die Gleichver-
teilung ist. Berechnen Sie das Produktmaß derPi, i∈ {1, . . . , n}, auf Ω1× · · · ×Ωn versehen mit der zugeh¨origen Produkt-σ-Algebra.
(b) Seien P und Q stochastischen×n Matrizen. Zeigen Sie, dass deren Produkt auch eine stochastische Matrix ist.
(c) Sei S eine σ-Algebra ¨uber S und X : Ω→S eine Abbildung. Zeigen Sie, dass {X−1(B) | B ∈ S}
eine σ-Algebra ¨uber Ω ist.
