erläutert, gewinnt

\\rie

olten

erläutert, gewinnt

man

rlie

Lösung von Gleichung

A.6,

indern

matt

A clurch iÄ: ersetzt,

und erhält

so als Lösung

fii,

^{von A.6}

Lil,,(r,

p) :

D sin(rncp

+

_?o)

J*(ikr)'

Da es sich

bei

Cileichung

A.3

um eine lineare Diffelentialgleichung hanclelt,

ist mit

{:,,, r.urcl

{1,

auch

(r,n* t/l

eine Lösung von

A.3

(Superpositionsprinzip).

}Ian erhält

also als Lösung von A.3:

LI*(r,p) ₌ sin(m" +

_vo)

^(c J",(kr) ! ^{DJ^(ikr))}

^.

l\un

mässen noch die Randbedingungen beräcksichtigt werden:

Die Platte mit

clem Raclius

R ist am Rand fest

eingespannt

(+ trlr' : R,p) ₌

0).

tuncl außerclern

kann sie am Rand nicht abknicken (im

Gegensatz

zur

Nlembran)

(+ Hl,^=":0).

^Dies

^ltihrt

^{auf zwei} Gleichungen

für

clie zwei unbekaunten

!

^{trncl Ä':}

J,,,(k

R) +

^{D7,I m} 1;t;R)

=

^o.

d,J,,(|,r')

|

^D clJ,,,(tAr')l

---,' _l,="* ttl,=.,:o'

l)rrlclr

[:]linriniere:n

vorl f; ^erhält

^mau

^mit 4#C :;(J,tt-r(r')-,/,,,+r(.r,)) [l7j

lolg..t:rrrlt,'

(ik'icbrrrrg

(rnit

.r

-

^Ä'A):

.1,,(ir)I.J,,-r(.r') -

./,,,+r(r')]

- i./,,,(r')[,/,,,-r(i.,') -

.ln,+t(i.r,)]

:0.

( .\.e )

,.lie rrra,rr lnu-r nurnerisch löscu

kann. \lit ^rr = *fr/D

^uncl

ⁿ :2ir.f

lassr.,'n sic.h clie

[.ig,:nfi'ecluellzen.f cler runclen

Platte

berr:chneu. rvol;ei

nlit.?',,,,

clie Lösungen vorr ..\.!)

brlzeicltnet r'r'erclen.

\[an erhält

letzlencllich firr: clie Eigenli'ecluel]zen:

Jr,.u:*"

l:'ür.l',,,,, rvurden

mit

Hilfe eines Clomputers einige.r,nr-\\:eLl.e berechnet. clir:

in

Talrelle

'\.2

^{zr.r fittclen}

^sincl.

Sie sincl geolclnet nach

Zahl

uncl

,\r't del Iirrotenlirrien.

w'obci rl<:r'

lttclr:s

m

clie

Zahl

der raclialeu uuc.l rz die Zahl clel

zilkulalen Iinotenliniel

bczeichnet.

In Abbildturg

A.;3 sincl

die.r,1,,-\Velte.

c[ie prol>ortional

zu

clen Eigcnfrecluenzeu sincl.

gral;liisch clatgestellt.

l'nr

sich

ein Bilcl

iil>er clie Schu'ingungstbrrn der

Platte

bei fest,gchalt,ener Zr"it zu nra- r:ltett. u'ercleu cliesc

itt

Abbilclrrng

A.l fiir

eiu paa,r

l',,,,-\\ielte

clargestellt2. Die gleichen l'.igerrst'ltn'inguttgeu _sirrcl

in Allbilclung

^A.J-r ais

l-löhenplofil,

rvic sie ;r,rr<:h

lrci

ck.r holo- gral.llri.sc'hcu Int,r.'rlt:r'r>nretrie zrr sr--'lr<lu sr:in sollterr. daugcsl,elll.

I I'trr rIir' Schrvitrgrrttgsfortu <.lr:rrtlir.'lr zu rnacherr, sirrrl rli,: Änrplitrr.lt'n starlt vcrgrijl3r,r't. rll,rr',r]rl

rr;rtiillich {'iir so grol3o Aurplit.urlt'rr dic l)ifl'eLcrrlillgl,ricllslllg.\.1 niclrt nrehr gilt.

I2p(I -

^p2)

(il