Abgabe bis 10. November 07:30

Technische Universit¨at Chemnitz Statistik Fakult¨at f¨ur Mathematik

Prof. Dr. I. Veseli´c, M. Tautenhahn

Hausaufgabe 2

Abgabe bis 10. November 07:30

Aufgabe 1. In einer Lostrommel befinden sich N Lose mit den Nummern 1,2, . . . , N, N ∈N unbekannt. Der kleine Fritz (Name aus Datenschutzgr¨unden ge¨andert) will wis- sen, wie viele Lose sich in der Trommel befinden und entnimmt in einem unbeobachteten Augenblick ein Los, merkt sich die aufgedruckte Nummer und legt es wieder in die Trom- mel zur¨uck. Das macht er n mal.

(a) Berechnen Sie aus den gemerkten Nummernx₁, . . . , x_n einen Maximum-Likelihood- Sch¨atzer T f¨urN. Ist dieser erwartungstreu?

(b) Berechnen Sie approximativ f¨ur großes N den relativen Erwartungswert EN(T)/N.

Hinweis: Fassen Sie einen geeigneten Ausdruck als Riemann-Summe auf.

Aufgabe 2. Ein Versuch, bei dem ein Erreignis A mit Wahrscheinlichkeit p ∈ (0,1) eintritt, wird so oft unabh¨angig voneinander wiederholt bis zum z-ten mal A eintritt (z vorgegeben!). Die Zufallsvariable N bezeichnet die Anzahl der dazu erforderlichen Versuchsdurchf¨uhrungen (N =z, z+ 1, z+ 2, . . .).

(a) Man bestimme die Verteilung vonN!

(b) Man bestimme die Maximum-Likelihood-Sch¨atzung f¨ur p!

Aufgabe 3. Gegeben sei das statistische Produktmodell (Rⁿ,Bⁿ, Q^⊗n_ϑ :ϑ ∈ R). Dabei sei Q_ϑ die sogenannte zweiseitige Exponentialverteilung oder Laplace-Verteilung mit Zentrumϑ, d. h. das Wahrscheinlichkeitsmaß auf (R,B) mit Dichtefunktion

ρ_ϑ(x) = 1

2e^−|x−ϑ|, x∈R.

Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Sch¨atzer f¨urϑund zeigen Sie, dass dieser nur f¨ur ungeradesn eindeutig bestimmt ist. Hinweis: Aufgabe 2 von Hausaufgabenblatt 1.

Bitte wenden!

Aufgabe 4. Wir betrachten das statistische Modell (Rⁿ,Bⁿ,U_ϑ^⊗n : ϑ ∈ R), wobei U_ϑ die Gleichverteilung auf dem Intervall [ϑ−1/2, ϑ+ 1/2] ist.

(a) Zeigen Sie, dass

T_n= 1 n

n

X

i=1

X_i und T˜_n= 1 2

1≤i≤nmaxX_i+ min

1≤i≤nX_i

erwartungswerte Sch¨atzer f¨ur ϑ sind. Hinweis: Beachten Sie die Verteilungssymme- trie derX_i.

(b) Berechnen Sie die Varianzen Var_ϑ(T_n) und Var_ϑ( ˜T_n). Welchen Sch¨atzer w¨urden Sie f¨ur die Benutzung empfehlen? Hinweis: Bestimmen Sie zun¨achst f¨ur n ≥ 3 und ϑ = 1/2 die gemeinsame Verteilungsdichte von min1≤i≤nX_i und max1≤i≤nX_i und anschließend die Verteilungsdichte von ˜T_n. Benutzen Sie f¨ur a, b >0

B(a+ 1, b) = a

a+bB(a, b), wobei

B(a, b) = Z 1

0

s^a−1(1−s)^b−1ds.