Aufgabe 1. Es sei X eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter ϑ > 0.

Technische Universit¨ at Chemnitz Statistik, WS 12/13 Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. I. Veseli´ c, Dr. M. Tautenhahn

Hausaufgabe 1

Abgabe am 28.10.2013 in der Vorlesung

Aufgabe 1. Es sei X eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter ϑ > 0.

Das heißt, die Verteilung von X besitzt die Dichtefunktion f

(x) =

( ϑe

f¨ ur x ≥ 0, 0 f¨ ur x < 0.

Weiterhin sei (X

, . . . , X

) eine Stichprobe vom Umfang n.

(a) Pr¨ ufen Sie, ob T

=

P

X

eine Erwartungstreue Sch¨ atzfunktion f¨ ur 1/ϑ

ist.

(b) Wenn nicht, dann berechnen Sie den systematischen Fehler (Bias) der Sch¨ atzfunktion T

und geben Sie eine Erwartungstreue Sch¨ atzfunktion T

f¨ ur 1/ϑ

an.

Aufgabe 2. F¨ ur i = 1, . . . , n seien X

, Y

∈ L

( P ) reellwertige Zufallsvariablen. Sei Z

= (X

, Y

). Wir nehmen an, daß Z

, . . . , Z

unabh¨ angig identisch verteilt sind. Zeigen Sie, dass

S

= 1 n − 1

n

X

i=1

(X

− X)(Y

− Y )

eine erwartungstreue Sch¨ atzung f¨ ur die Kovarianz von X

und Y

ist. Hier ist X =

1 n

P

i=1

X

und Y =

P

Y

.

Aufgabe 3. F¨ ur ein ϑ > 0 sei X

, X

, . . . eine Folge unabh¨ angiger, identisch verteilter Zufallsvariablen mit der Dichtefunktion

f

(x) =

( 1/ϑ falls 0 ≤ x ≤ ϑ, 0 sonst,

Zeigen Sie, daß T

=

P

i=1

X

eine konsistente Sch¨ atzfunktion f¨ ur ϑ ist.

Aufgabe 4. Bei einem Sommerfest des Kaninchenz¨ uchtervereins sollen K Kaninchen verlost werden. Dazu werden N ≥ K Lose gedruckt, davon K Gewinne, der Rest Nieten.

Der liebe Fabian bringt – zum Entsetzen seiner Mutter – x Kaninchen mit nach Hause, 1 ≤ x ≤ K. Wie viele Lose hat er wohl gekauft? Geben Sie eine Sch¨ atzung mittels der Maximum-Likelihood-Methode!

Bitte wenden!

Aufgabe 5 (Zusatz). In einer Lostrommel befinden sich N Lose mit den Nummern 1, 2, . . . , N , N ∈ N unbekannt. Der kleine Fritz (Name aus Datenschutzgr¨ unden ge¨ andert) will wissen, wie viele Lose sich in der Trommel befinden und entnimmt in einem unbe- obachteten Augenblick ein Los, merkt sich die aufgedruckte Nummer und legt es wieder in die Trommel zur¨ uck. Das macht er n mal.

(a) Berechnen Sie aus den gemerkten Nummern x

, . . . , x

einen Maximum-Likelihood- Sch¨ atzer T f¨ ur N . Ist dieser erwartungstreu?

(b) Berechnen Sie approximativ f¨ ur großes N den relativen Erwartungswert E

(T )/N.

Hinweis: Fassen Sie einen geeigneten Ausdruck als Riemann-Summe auf.