1. Es sei (Z n , n ≥ 0) ein Verzweigungsprozess mit der Nachkommensverteilung p j (ϑ) = [ϕ(ϑ)] ϑipjj, j ≥ 0 mit

Prof. Dr. Uwe K¨ uchler Institut f¨ ur Mathematik

Statistik stochastischer Prozesse 2. ¨ Ubung, 02. 05. 2005

1. Es sei (Z _n , n ≥ 0) ein Verzweigungsprozess mit der Nachkommensverteilung p j (ϑ) = _[ϕ(ϑ)] ^ϑ

^p

, j ≥ 0 mit

∞

P

j=0

p j = 1 und ϑ ∈ Θ := ^{n P}

j≥0

ϑ ^j p j =: ϕ(ϑ) < ∞ ^o . Das bedeutet, Z _n ist die Anzahl der Individuen in einer bestimmten Popu- lation zur Zeit n (d.h., in der n-ten Generation). Jedes Individuum erzeugt in einer Zeiteinheit unabh¨ angig von den anderen und von der Vergangenheit eine zuf¨ allige Anzahl von neuen Individuen, diese Anzahl habe die Verteilung (p j (ϑ), j ≥ 0), der Parameter ϑ sei unbekannt. Zum Zeitpunkt Null seien i 0

Individuen vorhanden. Man berechne:

a) Die Likelihoodfunktion

L _n (ϑ; i ₁ , i ₂ , . . . , i _n ) = P _ϑ (Z ₁ = i ₁ , Z ₂ = i ₂ , . . . , Z _n = i _n ) b) E ϑ Z n , V ar ϑ (Z n )

c) Man gebe eine Maximum-Likelihood Sch¨ atzung f¨ ur µ(ϑ) =

∞

P

k=1

kp _k (ϑ) an.

d) Eine Maximum-Likelihood Sch¨ atzung f¨ ur ϑ

2. Es sei (X _n ) 0≤n≤N eine Markovsche Kette auf dem Zustandsraum {0, 1} mit X 0 = i 0 ∈ {0, 1} und den ¨ Ubergangswahrscheinlichkeiten p 0 = IP (X n+1 = 1|X _n = 0), q ₀ = IP (X _n+1 = 0|X _n = 0), p ₁ = IP (X _x+1 = 0|X _n = 1) und q ₁ = IP (X _n+1 = 1|X _n = 1).

Stellen Sie die Likelihoodfunktion auf und bestimmen Sie Maximum-Likelihood- sch¨ atzungen f¨ ur p ₀ , q ₀ , p ₁ , q ₁ .

3. Es seien (N (t), t ≥ 0) ein Poissonprozess mit dem Parameter λ > 0, (Y _k , k ≥ 1) eine Folge unabh¨ angiger identisch verteilter Zufallsgr¨ ossen mit der st¨ uckweise stetigen Dichte f _ϑ (·), (ϑ ∈ Θ ⊆ R ¹ ), die auch unabh¨ angig von (N (t), t ≥ 0) seien. Es gelte: {f _ϑ > 0} ist unabh¨ angig von ϑ. Durch

X(t) =

N (t)

P

k=1

Y _k , t > 0

ist ein sogenannter zusammengesetzter Poissonprozess X = (X(t), t ≥ 0) definiert.

a) Skizzieren Sie eine ”typische” Trajektorie von X(·).

b) Bestimmen Sie den Likelihood-Prozess L T (ϑ, ϑ 0 , X ). (formale Rechnung gen¨ ugt)

c) Wie berechnet man den Maximum-Likelihood Sch¨ atzer f¨ ur (λ, ϑ)?

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