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n j p = 2 s s s s s f f f im Dualsystem n n n n n n n n , ,3 ,2 ,1 ,0 j 2 ZiffernfolgePeriodenlänges {} {} 3s n,0 {} 6s n,1 {} 12s n,2 24 n,3

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Academic year: 2022

Aktie "n j p = 2 s s s s s f f f im Dualsystem n n n n n n n n , ,3 ,2 ,1 ,0 j 2 ZiffernfolgePeriodenlänges {} {} 3s n,0 {} 6s n,1 {} 12s n,2 24 n,3"

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(1)

Fibonacci p-adisch Anregung: A. W., L.

1 Idee

Die Fibonacci-Folge wird in einem p-adischen Zahlensystem dargestellt.

Die Folgen der letzen, zweitletzten, drittletzten ... Ziffern sind periodisch.

Aus einer Periode wird die Multiplikationstabelle modulo

p dargestellt und mit p ver-

schiedenen Farben codiert und im Quadratraster visualisiert.

2 Dualsystem

Wir arbeiten mit

p=2

. Die Tabelle zeigt die Fibonacci-Folge

fn

im Dezimalsystem und im Dualsystem sowie

sn,j

als Koeffizienten von

2j

in der Dualentwicklung.

n fn fn im Dualsystem sn,3 sn,2 sn,1 sn,0

1 1 1 0 0 0 1

2 1 1 0 0 0 1

3 2 10 0 0 1 0

4 3 11 0 0 1 1

5 5 101 0 1 0 1

6 8 1000 1 0 0 0

7 13 1101 1 1 0 1

8 21 10101 0 1 0 1

9 34 100010 0 0 1 0

10 55 110111 0 1 1 1

11 89 1011001 1 0 0 1

12 144 10010000 0 0 0 0 13 233 11101001 1 0 0 1 14 377 101111001 1 0 0 1 15 610 1001100010 0 0 1 0 16 987 1111011011 1 0 1 1 17 1597 11000111101 1 1 0 1 18 2584 101000011000 1 0 0 0 19 4181 1000001010101 0 1 0 1 20 6765 1101001101101 1 1 0 1 21 10946 10101011000010 0 0 1 0 22 17711 100010100101111 1 1 1 1 23 28657 110111111110001 0 0 0 1 24 46368 1011010100100000 0 0 0 0

Für die Periodenlängen gilt:

Ziffernfolge Periodenlänge sn,0

{ }

3

sn,1

{ }

6

sn,2

{ }

12

sn,3

{ }

24

(2)

Vermutlich hat die Folge { }

sn,j

die Periodenlänge

3⋅2j

. 2.0 Letzte Stelle

Nun sei

j=0

. Wir haben die Periodenlänge 3 und die recht biedere Multiplikationsta- belle modulo 2:

Multiplikationstabelle ---

* | 110 --- 1 | 110 1 | 110 0 | 000

Mit der Farbcodierung 0 = schwarz und 1 = rot ergibt sich mit einer und mit vier Perio- den:

Farbcodierung

2.1 Zweitletzte Stelle

Nun sei

j=1. Wir haben die Periodenlänge 6 und die Multiplikationstabelle modulo 2:

Multiplikationstabelle ---

* | 001100 --- 0 | 000000 0 | 000000 1 | 001100 1 | 001100 0 | 000000 0 | 000000

Mit der Farbcodierung 0 = schwarz und 1 = rot ergibt sich mit einer und mit vier Perio-

den:

(3)

Farbcodierung

2.2 Drittletzte Stelle

Nun sei

j=2

. Wir haben die Periodenlänge 12:

Multiplikationstabelle ---

* | 000010110100 --- 0 | 000000000000 0 | 000000000000 0 | 000000000000 0 | 000000000000 1 | 000010110100 0 | 000000000000 1 | 000010110100 1 | 000010110100 0 | 000000000000 1 | 000010110100 0 | 000000000000 0 | 000000000000

(4)

Farbcodierung

2.3 Viertletzte Stelle

Nun sei

j=3

. Wir haben die Periodenlänge 24:

Multiplikationstabelle ---

* | 000001100010110111010100 --- 0 | 000000000000000000000000 0 | 000000000000000000000000 0 | 000000000000000000000000 0 | 000000000000000000000000 0 | 000000000000000000000000 1 | 000001100010110111010100 1 | 000001100010110111010100 0 | 000000000000000000000000 0 | 000000000000000000000000 0 | 000000000000000000000000 1 | 000001100010110111010100 0 | 000000000000000000000000 1 | 000001100010110111010100 1 | 000001100010110111010100 0 | 000000000000000000000000 1 | 000001100010110111010100 1 | 000001100010110111010100 1 | 000001100010110111010100 0 | 000000000000000000000000 1 | 000001100010110111010100 0 | 000000000000000000000000 1 | 000001100010110111010100 0 | 000000000000000000000000 0 | 000000000000000000000000

(5)

Farbcodierung, eine Periode

3 Basis 3

Wir arbeiten mit

p=3. Die Tabelle zeigt die Fibonacci-Folge fn

im Dreiersystem so- wie

sn,j

als Koeffizienten von

3j

in der Dreierentwicklung.

n fn im Dreiersystem sn,2 sn,1 sn,0

1 1 0 0 1

2 1 0 0 1

3 2 0 0 2

4 10 0 1 0

5 12 0 1 2

6 22 0 2 2

7 111 1 1 1

8 210 2 1 0

9 1021 0 2 1

10 2001 0 0 1

11 10022 0 2 2

12 12100 1 0 0

13 22122 1 2 2

(6)

14 111222 2 2 2

15 211121 1 2 1

16 1100120 1 2 0

17 2012011 0 1 1

18 10112201 2 0 1

19 12201212 2 1 2

20 100021120 1 2 0

21 120000102 1 0 2

22 220021222 2 2 2

23 1110022101 1 0 1

24 2100121100 1 0 0

25 10210220201 2 0 1

26 20011112001 0 0 1

27 100222102202 2 0 2

28 121010221210 2 1 0

29 222010101112 1 1 2

30 1120021100022 0 2 2

31 2112101201211 2 1 1

32 11002200002010 0 1 0

33 20122001210221 2 2 1

34 101201201220001 0 0 1

35 122100210200222 2 2 2

36 1001002112121000 0 0 0

37 1200110100021222 2 2 2

38 2201112212212222 2 2 2

39 11102000020011221 2 2 1

40 21010120010001220 2 2 0

41 102112120100020211 2 1 1 42 200200010110022201 2 0 1 43 1010012200210120112 1 1 2 44 1210212211020220020 0 2 0 45 2221002112001110202 2 0 2 46 11201222100022100222 2 2 2 47 21200001212100211201 2 0 1 48 110102001012200012200 2 0 0 49 202002010002001001101 1 0 1 50 1012111011021201021001 0 0 1 51 1221120021100202022102 1 0 2 52 10011001102122110120110 1 1 0 53 12002121201000012212212 2 1 2 54 22020200010122200110022 0 2 2 55 111100021211122220100011 0 1 1 56 210120221222022120210110 1 1 0 57 1021221020210222111010121 1 2 1 58 2002112012210022001221001 0 0 1 59 10101110110121021120001122 1 2 2 60 12110222200101120121222200 2 0 0 61 22212110010222212012001022 0 2 2 62 112100102211101102211000222 2 2 2 63 212012212222101022000002021 0 2 1 64 1101120022210202201211010020 0 2 0 65 2020210012210011000211012111 1 1 1 66 10122100112120220202122022201 2 0 1

(7)

67 12220010202101001210110112012 0 1 2 68 100112111021221222120002211220 2 2 0 69 120102122001100001100120101002 0 0 2 70 220222010100022000220200012222 2 2 2 71 1111101202101122002021020121001 0 0 1 72 2102100212201221010011220211000 0 0 0

Für die Periodenlängen gilt:

Ziffernfolge Periodenlänge sn,0

{ }

8

sn,1

{ }

24

sn,2

{ }

72

Vermutlich hat die Folge { }

sn,j

die Periodenlänge

8⋅3j

. 3.0 Letzte Stelle

Nun sei

j=0

. Wir haben die Periodenlänge 8 und die Multiplikationstabelle modulo 3:

Multiplikationstabelle ---

* | 11202210 --- 1 | 11202210 1 | 11202210 2 | 22101120 0 | 00000000 2 | 22101120 2 | 22101120 1 | 11202210 0 | 00000000

Mit der Farbcodierung 0 = schwarz, 1 = rot und 2 = grün ergibt sich mit einer und mit vier Perioden:

Farbcodierung

(8)

3.1 Zweitletzte Stelle

Nun sei

j=1. Wir haben die Periodenlänge 24.

p = 3, j = 1, eine Periode

(9)

3.2 Drittletzte Stelle Periodenlänge 72.

p = 3, j = 2, eine Periode

4 Basis 4

n fn im Vierersystem sn,2 sn,1 sn,0

1 1 0 0 1

2 1 0 0 1

3 2 0 0 2

4 3 0 0 3

5 11 0 1 1

6 20 0 2 0

7 31 0 3 1

8 111 1 1 1

9 202 2 0 2

10 313 3 1 3

11 1121 1 2 1

12 2100 1 0 0

13 3221 2 2 1

(10)

14 11321 3 2 1

15 21202 2 0 2

16 33123 1 2 3

17 120331 3 3 1

18 220120 1 2 0

19 1001111 1 1 1

20 1221231 2 3 1

21 2223002 0 0 2

22 10110233 2 3 3

23 12333301 3 0 1

24 23110200 2 0 0

25 102110101 1 0 1

26 131220301 3 0 1

27 233331002 0 0 2

28 1031211303 3 0 3

29 1331202311 3 1 1

30 3023020220 2 2 0

31 11020223131 1 3 1

32 20103310011 0 1 1

33 31130133202 2 0 2

34 111300103213 2 1 3

35 203030303021 0 2 1

36 320331012300 3 0 0

37 1130021321321 3 2 1

38 2111013000221 2 2 1

39 3301100322202 2 0 2

40 12012113323023 0 2 3

41 21313220311231 2 3 1

42 33332000300320 3 2 0

43 121311221212211 2 1 1

44 221303222113131 1 3 1

45 1003221103332002 0 0 2

46 1231130332111133 1 3 3

47 2301012102103201 2 0 1

48 10132203100221000 0 0 0

49 13033221202330201 2 0 1

50 23232030303211201 2 0 1

51 102331312112202002 0 0 2

52 132230003022013203 2 0 3

53 301221321200221211 2 1 1

54 1100111330222301020 0 2 0

55 2001333312023122231 2 3 1

56 3102111302312023311 3 1 1

57 11110111221001212202 2 0 2 58 20212223123313302113 1 1 3 59 31323001010321120321 3 2 1 60 112201230200301023100 1 0 0 61 210130231211222210021 0 2 1 62 322332122012123233121 1 2 1 63 1133123013230012103202 2 0 2 64 2122121201302202002323 3 2 3 65 3321310221132220112131 1 3 1 66 12110032023101022121120 1 2 0

(11)

67 22032002310233302233311 3 1 1 68 100202101000000331021031 0 3 1 69 122300103310300233321002 0 0 2 70 223102210310301231002033 0 3 3 71 1012002320221202130323101 1 0 1 72 1301111131132110021331200 2 0 0 73 2313120112013312212320301 3 0 1 74 10220231303212022300312101 1 0 1 75 13200012021232001113233002 0 0 2 76 30020303331110030020211103 1 0 3 77 103220322013002031200110111 1 1 1 78 133301232010112121220321220 2 2 0 79 303122220023120213021031331 3 3 1 80 1103030112033233000302013211 2 1 1 81 2012212332123013213323111202 2 0 2 82 3121303110222312220231131013 0 1 3 83 11200122103011332100220302221 2 2 1 84 20322031213300310321112033300 3 0 0 85 32122213322312303021333002121 1 2 1 86 113110311202213220003111102021 0 2 1 87 211233131131132123031110110202 2 0 2 88 331010103000012003100221212223 2 2 3 89 1202303300131210132131331323031 0 3 1 90 2133320003131222201232213201320 3 2 0 91 10002223303323033000030211131011 0 1 1 92 12202203313120321201323030332331 3 3 1 93 22211033223110020202013302130002 0 0 2 94 101013303202231002010002333122333 3 3 3 95 123231003032001022212022301313001 0 0 1 96 230310312300232030222031301102000 0 0 0

Für die Periodenlängen gilt:

Ziffernfolge Periodenlänge sn,0

{ }

6

sn,1

{ }

24

sn,2

{ }

96

Vermutlich hat die Folge { }

sn,j

die Periodenlänge

6⋅4j

. 4.0 Letzte Stelle

Multiplikationstabelle ---

* | 112310 --- 1 | 112310 1 | 112310 2 | 220220 3 | 332130 1 | 112310 0 | 000000

(12)

p = 4, j = 0, eine und vier Perioden

4.1 Zweitletzte Stelle

p = 4, j = 1, eine Periode

(13)

4.2 Drittletzte Stelle

p = 4, j = 2, eine Periode

(14)

5 Basis 5

5.0 Letzte Stelle Periodenlänge 20.

p = 5, j = 0, eine Periode

(15)

p = 5, j = 0, zwei Perioden

(16)

5.1 Zweitletzte Stelle Periodenlänge 100.

p = 5, j = 1

(17)

6 Basis 6

6.0 Letzte Stelle Periodenlänge 24.

p = 6, j = 0

(18)

6.1 Zweitletzte Stelle

Merkwürdigerweise haben wir hier ebenfalls die Periodenlänge 24

p = 6, j = 1

(19)

7 Basis 7

7.0 Letzte Stelle Periodenlänge 16.

p = 7, j = 0

(20)

7.1 Zweitletzte Stelle Periodenlänge 112.

p = 7, j = 1

(21)

8 Basis 8

8.0 Letzte Stelle Periodenlänge 12.

p = 8, j = 0

(22)

8.1 Zweitletzte Stelle Periodenlänge 96.

p = 8, j = 1

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() () () () ()= () u u π π π n 2 π f = = n sin und f = n cos sin sin 2 n n 2 2 n n n 2 n n n

Ich verstehe dieses für innen und außen unterschiedliche

()+ ()= n + 1 n 2 n 2 2

Es wird ein Beweis ohne Worte dazu gegeben. 2 Beweis

G F F F = = 1 0 = = F 3 G + F − G 1 0 n n + + 1 1 n n n − 1 n − 1

In den Schrägen parallel zum Dach links haben wir Ausschnitte aus der Folge die ent- steht wenn wir von der Fibonacci-Folge nur jedes zweite Glied nehmen (Schrittlänge 2).. Die

2 F = F + F n n − 1 n − 2 F = 2 F + 2 F − F n n − 12 n − 22 n − 32

In der dritten Schrägzeile sitzen Zahlen, welch der Rekursion der Kuben der Fibonacci- Zahlen genügen.. Und

() 2 a a a a a a a n a a = 2 a + 2 a − a n 2 2 n − 2 n () 15 () n n + 1 ⎛⎝⎞⎠ n n − 1 n − 2 n 1 + 52 F = 2 F + 2 F − F 15 1 a F = = lim = 2 Φ + 2 − 2 − − 1 + = Φ 2 + 2 − n + 12 n n − 12 n − 22 F n = Φ −− , Φ = a a a a a a a n Φ n →∞

Insbesondere kommen die Fibonacci-Folge und die Lucas-Folge

2 2 a a = 1 b = 0 c = 1 n 0 0 0 a = 2 n + 1 b = 2 n + 2 nc = 2 n + 2 n + 1 n n n + 2 n a = 4 n − a b = 4 n + b c = 4 n + c n n − 1 n n − 1 n n − 1

Es werden allerdings nicht alle pythagoreischen Tripel generiert... Jedes pythagoreische Dreieck ist zwei

() () 2 2 2 2 2 2 2 = = 2 2 u u + + u v = a + 2 b + 2 c , , v b , c + = b u = − v c , b = 2 u v , c = u + v n n + + 1 1 n n n n − 1 n + 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a u a a v v = = u 2 v + v b = 2 a + b + 2 c n n + + 1 1 n n n − 1 n + 1 n n n

Die zu den Tripeln gehörenden Dreiecke nähern sich eben- falls einem rechtwinklig gleichschenkligen Dreieck an.. Die beiden Kathetenlängen un- terscheiden sich immer nur

() ()() π N N = = 100 300 P , P , P ,..., P n n {} 0 = 1 2 N P = cos2 ,sin2 , n ∈ 0,1,2,3,..., N 853 n

So ganz beliebig darf φ nicht gewählt werden.. 3: