Aufgabe 1. Sei M = (X , F , P ϑ : ϑ ∈ Θ) ein regul¨ ares Modell mit Fischer-Information I. Zeigen Sie, dass das Produktmodell M ⊗n = (X n , F ⊗n , P ⊗n ϑ : ϑ ∈ Θ) f¨ ur jedes n ∈ N die Fischer Information nI hat.

Technische Universit¨ at Chemnitz Mathematische Statistik, WS 14/15 Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Dr. M. Tautenhahn

Ubungsblatt 2 ¨

Aufgabe 1. Sei M = (X , F , P ϑ : ϑ ∈ Θ) ein regul¨ ares Modell mit Fischer-Information I. Zeigen Sie, dass das Produktmodell M ^⊗n = (X ⁿ , F ^⊗n , P ^⊗n ϑ : ϑ ∈ Θ) f¨ ur jedes n ∈ N die Fischer Information nI hat.

Aufgabe 2. (a) Sch¨ atzung des Erwartungswertes. Sei σ > 0 und {N _ϑ,σ : ϑ ∈ R } ei- ne Familie von Normalverteilungen (mit fester Varianz). Bildet diese Familie eine exponentielle Familie? Geben Sie einen besten Sch¨ atzer f¨ ur ϑ an! Geben Sie die quadratische Abweichung vom Mittelwert dieses Sch¨ atzers an!

(b) Sei nun der Mittelwert m ∈ R fixiert. Wir betrachten die Familie {N _m,ϑ , ϑ : ϑ >

0}} von Normalverteilung. Bildet diese Familie eine exponentielle Familie? Geben Sie einen besten Sch¨ atzer f¨ ur ϑ an! Geben Sie die quadratische Abweichung vom Mittelwert dieses Sch¨ atzers an!

Aufgabe 3. Betrachten Sie zu einem gegebenen Mittelwert m ∈ R das n-fache Gauß’sche Produktmodell ( R ⁿ , B( R ⁿ ), N _m,ϑ ^⊗n : ϑ > 0). Zeigen Sie: Die Statistik

T = r π

2 1 n

n

X

i=1

|X _i − m|

auf R ⁿ ist ein erwartungstreuer Sch¨ atzer f¨ ur τ (ϑ) = √

ϑ, jedoch erreicht ihre Varianz f¨ ur kein ϑ die Cram´ er-Rao-Schranke τ ⁰ (ϑ) ² /I(ϑ).

Aufgabe 4. Ein Versuch, bei dem ein Erreignis A mit Wahrscheinlichkeit p ∈ (0, 1) eintritt, wird so oft unabh¨ angig voneinander wiederholt bis zum z-ten mal A eintritt (z vorgegeben!). Die Zufallsvariable N bezeichnet die Anzahl der dazu erforderlichen Versuchsdurchf¨ uhrungen (N = z, z + 1, z + 2, . . .).

(a) Man bestimme die Verteilung von N !

(b) Man bestimme die Maximum-Likelihood-Sch¨ atzung f¨ ur p!

Bitte wenden!

Zusatzaufgabe 1. Die Zufallsvariable X besitze eine Dichte der Form

f _ϑ (x) =



 

 

x

ϑ

falls 0 ≤ x ≤ ϑ,

2

ϑ − _ϑ ^x

falls ϑ < x ≤ 2ϑ,

0 sonst,

mit dem Parameter ϑ > 0.

(a) Berechnen Sie den Erwartungswert und Varianz von X.

(b) Die Zufallsvariablen X ₁ , X ₂ , . . . , X _n seien unabh¨ angig und identisch verteilt wie X.

Bestimmen Sie a _n so, daß

T _n = a _n X ⁿ

i=1

X _i 2

eine erwartungstreue Sch¨ atzung f¨ ur die Varianz ist.